Sattelpunkt oder Wendepunkt < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Berechnen Sie die Wendepunkte, ggf. Sattelpunkte
f(x) = [mm] \bruch{3}{4} x^{4} [/mm] + [mm] 3x^{2} [/mm] - 15 |
| Aufgabe 2 | | Besitzt die Funktion Wendestellen die nicht zu den kritischen Punkten gehören? |
Zu Aufgabe 1
Die Ableitungen lauten ja nun wie folgt:
f'(x) = [mm] -2x^{3} [/mm] + 6x
f''(x) = [mm] -6x^{2} [/mm] + 6
f'''(x) = -12x
Mir geht es nun um die Frage, handelt es sich hier um einen Wende- oder Sattelpunkt. Kriterien sind, laut Recherche: f'(x) = 0; f''(x) = 0; f'''(x) [mm] \not= [/mm] 0
Ich habe nun mehrere Lösungswege gesehen, aber alle waren unterschiedlich. Die einen haben die 2. Ableitung = Null gesetzt und diese Zahl in die 1. Ableitung gesetzt. Die anderen wiederum haben die 1. Ableitung =Null gesetzt und in die 2. Ableitung eingesetzt.
Wie ist hier nun die genaue Vorgehensweise?
Laut meiner Lösung (ich habe beides versucht) bekomme ich nur Wendepunkte, aber keine Sattelpunkte heraus. Ist dies richtig?
Aufgabe 2
Was genau bedeutet diese Formulierung in dem Zusammenhang?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Fr 04.03.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen Sie die Wendepunkte, ggf. Sattelpunkte
>
> f(x) = [mm]\bruch{3}{4} x^{4}[/mm] + [mm]3x^{2}[/mm] - 15
> Besitzt die Funktion Wendestellen die nicht zu den
> kritischen Punkten gehören?
> Zu Aufgabe 1
>
> Die Ableitungen lauten ja nun wie folgt:
>
> f'(x) = [mm]-2x^{3}[/mm] + 6x
>
> f''(x) = [mm]-6x^{2}[/mm] + 6
>
> f'''(x) = -12x
>
> Mir geht es nun um die Frage, handelt es sich hier um einen
> Wende- oder Sattelpunkt. Kriterien sind, laut Recherche:
> f'(x) = 0; f''(x) = 0; f'''(x) [mm]\not=[/mm] 0
>
> Ich habe nun mehrere Lösungswege gesehen, aber alle waren
> unterschiedlich. Die einen haben die 2. Ableitung = Null
> gesetzt und diese Zahl in die 1. Ableitung gesetzt.
Das kann ich mir nicht vorstellen, das ist keine Bestimmungsmöglichkeit für eine Wendestelle
> Die anderen wiederum haben die 1. Ableitung =Null gesetzt
> und in die 2. Ableitung eingesetzt.
Auch das ist keine Bestimmung für eine Wendestelle. Das wäre eine Möglichkeit, Extremstellen und Sattelstellen zu ermitteln
>
> Wie ist hier nun die genaue Vorgehensweise?
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, der als zusätzliche Bedingung noch eine waagerechte Tangente hat.
Also muss - wie für einen Wendepunkt die notwendige Bedinung [mm] f''(x_{w})=0 [/mm] erfüllt sein. Des weiteren muss die hinreichende Bedingung für den Wendepunkt (Vorzeichenwechsel bei $f''(x)$ in der Nähe von [mm] x_{w} [/mm] oder [mm] $f'''(x_{w})\ne0$) [/mm] erfüllt sein.
Das wäre ja ersteinaml das übliche Vorgehensweise für einen Wendepunkt.
Ist nun auch noch [mm] f'(x_{w})=0 [/mm] erfüllt, ist dieser Wendepunkt dann ein Sattelpunkt, dessen y-Koordinate du mit [mm] f(x_{w}) [/mm] bestimmen kannst.
>
> Laut meiner Lösung (ich habe beides versucht) bekomme ich
> nur Wendepunkte, aber keine Sattelpunkte heraus. Ist dies
> richtig?
Ja, das stimmt, die x-Koordinaten sind +1 bzw -1
>
> Aufgabe 2
> Was genau bedeutet diese Formulierung in dem Zusammenhang?
Was ist für euch denn ein kritischer Punkt?
Marius
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> Berechnen Sie die Wendepunkte, ggf. Sattelpunkte
>
> f(x) = [mm]\bruch{3}{4} x^{4}[/mm] + [mm]3x^{2}[/mm] - 15
> Besitzt die Funktion Wendestellen die nicht zu den
> kritischen Punkten gehören?
> Zu Aufgabe 1
>
> Die Ableitungen lauten ja nun wie folgt:
>
> f'(x) = [mm]-2x^{3}[/mm] + 6x
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
f'(x) = [mm]3x^{3}[/mm] + 6x
und somit
f''(x) = [mm]9x^{2}[/mm] + 6
f'''(x) = 18x
> Mir geht es nun um die Frage, handelt es sich hier um einen
> Wende- oder Sattelpunkt. Kriterien sind, laut Recherche:
> f'(x) = 0; f''(x) = 0; f'''(x) [mm]\not=[/mm] 0
Nicht recherchieren - verstehen!
Zunächst setzt du f'(x)=0. Damit bekommst du alle Punkte, bei denen eine waagerechte Tangente vorliegt, also H-, T- Und S-Punkte.
Merke: [mm] \fbox{H/T/S \gdw f'=0}
[/mm]
f' sagt, WO die Punkte liegen, nicht, welche es im einzelnen sind!
f'(x) = [mm]3x^{3}[/mm] + 6x = [mm] 3x(x^2+2)=0 \gdw [/mm] x=0
Die nächste Ableitung sagt dir nun (falls [mm] \ne [/mm] 0), WAS es ist, indem du einsetzt:
f''(0)=6>0 [mm] \Rightarrow [/mm] T(0,-15) (merke: läuft genau anders, als erwartet: f''>0 dann T, f''<0 dann H)
Was passiert bei f''=0? Na klar, bleibt nur S. - FALSCH!
Für S bleibt nur f''=0, aber: Für f''=0 bleibt nicht nur S, sondern S, H oder T! f''=0 bedeutet: Aussage verweigert!
(Liegt zum Glück hier nicht vor, siehe aber Beispiel unten.)
Jetzt Suchst du die W-Punkte, indem du mit den Ableitungen eine Stufe weiter runter gehst und da das selbe machst:
Merke: [mm] \fbox{W/F \gdw f''=0} [/mm] Dabei bedeutet F Flachpunkt, ein Punkt, in dem der Graph keine Krümmung hat, aber kein W vorliegt. (Du fährst z.B. mit dem Auto eine Linkskurve, stellst den Lenker geradeaus und dann fährst du wieder in einer Linkskurve weiter. Bei einer anschließenden Rechtskurve hättest du einen Wendepunkt.)
f''(x) = [mm]9x^{2}[/mm] + 6 = 0 [mm] \gdw x=\wurzel{1,5} [/mm] oder [mm] x=-\wurzel{1,5}.
[/mm]
Auch hier: Zunächst erfährst du nur, WO ein W- oder F-Punkt liegt.
Jetzt setzt du diese Werte in die nächste Ableitung ein um zu erfahren, WAS es ist:
[mm] f'''(\wurzel{1,5})=18*\wurzel{1,5}>0 \Rightarrow W(\wurzel{1,5}|-8\bruch{13}{16}) [/mm] sowie [mm] f'''(-\wurzel{1,5})=-18*\wurzel{1,5}>0 \Rightarrow W(-\wurzel{1,5}|-8\bruch{13}{16})
[/mm]
Wenn [mm] f'''\ne [/mm] 0 ist, hast du einen W-Punkt. Wenn f'''=0 ist, kannst du einen F-Punkt haben, genau so gut aber auch einen W-Punkt. Auch hier verweigert dann die entsprechende nächste Ableitung die Aussage.
Drei Beispiele, die die Besonderheiten zeigen:
[mm] f(x)=x^3 [/mm] mit [mm] f'(x)=3x^2, [/mm] f''(x)=6x und f'''(x)=6.
Es ist f'(x)=0 [mm] \gdw [/mm] x=0 (H/T/S).
Einsetzen: f''(0)=0 [mm] \gdw [/mm] Aussage verweigert, immer noch H/T/S.
Jetzt f''(x)=0 [mm] \gdw [/mm] x=0 (W/F).
Einsetzen: [mm] f'''(0)=6\ne [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] W(0|0) [mm] \Rightarrow [/mm] S(0|0), da oben noch nicht geklärt war, ob H/T/S, aber H/T kann kein W-Punkt sein!
[mm] f(x)=x^4 [/mm] mit [mm] f'(x)=4x^3, f''(x)=12x^2 [/mm] und f'''(x)=24x.
Es ist f'(x)=0 [mm] \gdw [/mm] x=0 (H/T/S).
Einsetzen: f''(0)=0 [mm] \gdw [/mm] Aussage verweigert, immer noch H/T/S.
Jetzt f''(x)=0 [mm] \gdw [/mm] x=0 (W/F).
Einsetzen: f'''(0)= 0 [mm] \Rightarrow [/mm] W,F.
Wenn man den Graphen von [mm] f(x)=x^4 [/mm] kennt, weiß man, dass ein T vorliegt, also kein S und somit ein F.
[mm] f(x)=x^5 [/mm] mit [mm] f'(x)=5x^4, f''(x)=20x^3 [/mm] und [mm] f'''(x)=60x^2.
[/mm]
Es ist f'(x)=0 [mm] \gdw [/mm] x=0 (H/T/S).
Einsetzen: f''(0)=0 [mm] \gdw [/mm] Aussage verweigert, immer noch H/T/S.
Jetzt f''(x)=0 [mm] \gdw [/mm] x=0 (W/F).
Einsetzen: f'''(0)= 0 [mm] \Rightarrow [/mm] W,F.
Wenn man den Graphen von [mm] f(x)=x^5 [/mm] kennt, weiß man, dass ein S vorliegt.
Bei den letzten beiden Fällen geben die ersten 3 Ableitungen also die selben Auskünfte, und trotzdem sind die untersuchten Punkte verschiedenartig!!!
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