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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Satz: Abschätzung Lebensdauer
Satz: Abschätzung Lebensdauer < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Satz: Abschätzung Lebensdauer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Sa 18.09.2010
Autor: moerni

Aufgabe
I [mm] \subset \mathbb{R} [/mm] Intervall, D [mm] \subset [/mm] I [mm] \times \mathbb{R} [/mm] offen, f: D [mm] \to \mathbb{R} [/mm] stetig mit lokaler Lipschitz-Bedingung. Für [mm] Q=[t_0,t_0+h] \times [y_0-c,y_0+c] [/mm] gilt Q [mm] \subset U(t_0,y_0). [/mm] Mit Picard-Lindelöf lokale Version gilt dann: y existiert mindestens bis [mm] t=t_0+min\{h,\frac{c}{M}\}=:t_0+a [/mm] mit [mm] M=max_{(t,x) \in Q } [/mm] |f(t,x)|. Ferner gilt [mm] |y(t)-y_0| \le [/mm] c für alle t [mm] \in [t_0,t_0+a]. [/mm]

Hallo.

Ich habe ein paar Fragen zum Beweis von diesem Satz. Hier erstmal der Beweis:

Definiere [mm] F(t,x)=\begin{cases} f(t,y_0+c), x > y_0+c \\ f(t,x), x \in [y_0-c,y_0+c] \\ f(t,y_0-c), x
Dann ist F global Lipschitzstetig. Nach Picard-Lindelöf globale Version existiert eine eindeutige Lösung von y'=F(t,y), [mm] y(t_0)=y_0. [/mm]

Für t [mm] \in [t_0, t_0+a] [/mm] gilt: [mm] |y(t)-y_0|=|\int_{t_0}^t [/mm] F(s,y(s))ds| [mm] \le \int_{t_0}^t [/mm] |F(s,y(s)|ds [mm] \le [/mm] M [mm] |t-t_0| \le [/mm] Ma [mm] \le [/mm] c, wobei [mm] a=min\{h,\frac{c}{M}\} \le \frac{c}{M} [/mm]

Also: [mm] |y(t)-y_0| \le [/mm] c für alle t [mm] \in [t_0,t_0+a], [/mm] also (t,y(t)) [mm] \in [/mm] Q für t [mm] \in [t_0,t_0+a]. [/mm]

In Q gilt f(t,x)=F(t,x), so dass y das Problem y'(t)=f(t,y(t)), t [mm] \in [t_0,t_0+a], y(t_0)=y_0 [/mm] löst.


Meine Fragen:
1. Wie kommt man zur Gleichung [mm] |y(t)-y_0|=|\int_{t_0}^t [/mm] F(s,y(s))ds|?
>> Würde ich den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden, müsste statt y(t) ja y'(t) stehen, oder?

2. Wie kommt man auf die Definition von a? Warum wird das so festgelegt? Welcher Gedanke steckt dahinter...? Für mich sieht das aus wie aus der Luft gegriffen :-(


Über eine Antwort wäre ich sehr froh,
lg moerni

        
Bezug
Satz: Abschätzung Lebensdauer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 So 19.09.2010
Autor: fred97

Es gilt:

             $y'(t)=F(t,y(t)),  [mm] y(t_0)=y_0 \gdw y(t)-y_0=\int_{t_0}^t [/mm] F(s,y(s))ds$

Das folgt aus den Hauptsätzen der Diff. u. Integrakrechnung

Zur Wahl von a:  a wurde so gewählt, daas man Picard-Lindelöf globale Version anwenden kann.

FRED

Bezug
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