Satz:Polynomgrad - Diffbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine Funktion. Zeige, dass f genau dann ein Polynom vom Grad [mm] \le [/mm] n ist, wenn f mindestens (n+1)- mal differenzierbar ist und [mm] f^{n+1}(x)=0 [/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt. |
Hallo:).
Ich habe ein Problem mit diesem Beweis.
Aus meiner Sicht ist der Sachverhalt, der gefordert ist, relativ klar.
Sei f(x) ein Polynom vom Grad n:
f(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_i x^i [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 x^1 [/mm] +...+ [mm] a_n x^n
[/mm]
dann ist die Ableitung f'(x):
f'(x) =1 [mm] a_1 [/mm] + 2 [mm] a_2 [/mm] x + 3 [mm] a_3 x^2 [/mm] + 4 [mm] a_4 x^3 [/mm] +...+ (n-1) [mm] a_{n-1} x^{n-2} [/mm] + n [mm] a_n x^{n-1} [/mm]
und
f''(x)= 2 [mm] a_2 [/mm] + 6 [mm] a_3 [/mm] x + 12 [mm] a_4 x^2 [/mm] + ... + (n-1) (n-2) [mm] a_{n-1} x^{n-3} [/mm] + n * (n-1) [mm] a_n x^{n-2}
[/mm]
und setzt man dies fort, so kommt man auf
[mm] f^n [/mm] (x) = n! [mm] a_n [/mm]
und [mm] f^{n+1}(x) [/mm] = 0 wie gefordert..
jetzt frage ich mich, wieso der Grad auch [mm] \le [/mm] n sein kann, wenn die Funktion n+1 mal diffbar ist.
Ist das so anzusehen: wenn g vom Grad n+1 ist, dann ist schon [mm] g^n [/mm] (x) = 0, kann man sagen, dass weiterhin auch gilt [mm] g^{n+1}= [/mm] 0 , also allgemein gesagt: d/dx 0 = 0 ?
damit wäre dann ja der Sachverhalt klar für alle Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n.
Falls aber f vom Grad > n ist, dann wäre der Beweis ja, dass man zeigt, dass [mm] f^{n+1} [/mm] (x) [mm] \not= [/mm] 0.
Ich hoffe ihr konntet meinen Gedanken folgen. Ich wäre über eine Rückmeldung erfreut.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine Funktion. Zeige, dass f genau dann
> ein Polynom vom Grad [mm]\le[/mm] n ist, wenn f mindestens (n+1)-
> mal differenzierbar ist und [mm]f^{n+1}(x)=0[/mm] für alle x [mm]\in \IR[/mm]
> gilt.
> Hallo:).
>
> Ich habe ein Problem mit diesem Beweis.
> Aus meiner Sicht ist der Sachverhalt, der gefordert ist,
> relativ klar.
die eine Richtung ist dies auch - die andere ist es nicht ganz!
Was Du im Folgenden machst, ist der Beweis der Richtung
[mm] "$\Rightarrow$", [/mm] d.h. Du beweist, dass, wenn $f: [mm] \IR \to \IR$
[/mm]
eine Funktion ist:
Ist speziell [mm] $f\,$ [/mm] ein Polynom vom Grad [mm] $\le n\,$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $f\,$ [/mm] ist MINDESTENS [mm] $n+1\,$ [/mm] mal differenzierbar und es gilt [mm] $f^{(n+1)}(x) \red{\; \equiv \;} 0\,.$
[/mm]
> Sei f(x) ein Polynom vom Grad n:
> f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_i x^i[/mm] = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1 x^1[/mm] +...+ [mm]a_n x^n[/mm]
Das ist ein Polynom vom Grad [mm] $\le [/mm] n$ - ein Polynom vom Grad [mm] $n\,$ [/mm] hat die
Zuastzforderung [mm] $a_n \not=0\,.$ [/mm] Aber schreib' halt, wegen der
Aufgabenstellung, einfach:
> Sei f(x) ein Polynom vom Grad [mm] $\red{\le }\;$ [/mm] n:
> f(x) = [mm]\summe_{i=0}^{n} a_i x^i[/mm] = [mm]a_0[/mm] + [mm]a_1 x^1[/mm] +...+ [mm]a_n x^n[/mm]
> dann ist die Ableitung f'(x):
Die Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] heißt, wenn sie denn existiert, einfach [mm] $f\,'\,.$ [/mm] Was
Du machst, auch, wenn man es meist so ausdrückt wie Du oben, bedeutet
strenggenommen, dass an einer Stelle $x [mm] \in \IR$ [/mm] stets [mm] $f\,'(x)$ [/mm] existiert
und sich berechnet wie folgt:
> f'(x) =1 [mm]a_1[/mm] + 2 [mm]a_2[/mm] x + 3 [mm]a_3 x^2[/mm] + 4 [mm]a_4 x^3[/mm] +...+ (n-1)
> [mm]a_{n-1} x^{n-2}[/mm] + n [mm]a_n x^{n-1}[/mm]
> und
Analog...
> f''(x)= 2 [mm]a_2[/mm] + 6 [mm]a_3[/mm] x + 12 [mm]a_4 x^2[/mm] + ... + (n-1) (n-2)
> [mm]a_{n-1} x^{n-3}[/mm] + n * (n-1) [mm]a_n x^{n-2}[/mm]
>
> und setzt man dies fort, so kommt man auf
> [mm]f^n[/mm] (x) = n! [mm]a_n[/mm]
für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] und damit auch
> und [mm]f^{n+1}(x)[/mm] = 0
für alle $x [mm] \in \IR$
[/mm]
> wie gefordert..
>
> jetzt frage ich mich, wieso der Grad auch [mm]\le[/mm] n sein kann,
> wenn die Funktion n+1 mal diffbar ist.
Jedes Polynom [mm] $P\,,$ [/mm] also $P: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit der Bauart
[mm] $$P(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k\;\;\;\text{ für alle }x \in \IR$$ [/mm]
ist sowieso unendlich oft (stetig) differenzierbar. Das folgt genau so, wie
Du es oben berechnet hast. Du wirst doch oben sicher noch [mm] $f^{(n+2)}\,,$
[/mm]
[mm] $f^{(n+3)}\,,$... [/mm] angeben können? Was ist die Ableitung von konstanten
Funktionen? Denn insbesondere ist die Nullfunktion doch eine konstante
Funktion.
> Ist das so anzusehen: wenn g vom Grad n+1 ist, dann ist
> schon [mm]g^n[/mm] (x) = 0, kann man sagen, dass weiterhin auch gilt
> [mm]g^{n+1}=[/mm] 0 , also allgemein gesagt: d/dx 0 = 0 ?
Das verstehe ich nicht: Was Du aber analog der obigen Rechnung
entnimmst, nehmen wir an, Du führst sie weiterhin mit der unnötigen
Einschränkung, dass [mm] $a_n \not=0$ [/mm] sein soll, durch, dann wäre es doch
eher so: Hat das Polynom nun einen Grad $< [mm] n\,,$ [/mm] dann gilt schon
[mm] $f^{(p)}=0$ [/mm] mit einem $0 [mm] \le [/mm] p < [mm] n+1\,.$ [/mm] Vielleicht meintest Du das?
> damit wäre dann ja der Sachverhalt klar für alle
> Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] n.
> Falls aber f vom Grad > n ist, dann wäre der Beweis ja,
> dass man zeigt, dass [mm]f^{n+1}[/mm] (x) [mm]\not=[/mm] 0.
Eigentlich ist nun der Beweis der Richtung [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] geführt - siehe
oben. Nun geht's noch um die Richtung [mm] "$\Leftarrow$". [/mm] D.h. man hat nun
die Voraussetzung, dass $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine $(n+1)$-mal differenzierbare
Funktion sei, die erfülle, dass [mm] $f^{(n+1)}=0$ [/mm] (rechterhand ist die
Nullfunktion gemeint). Nun soll man zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] ein Polynom ist,
dessen Grad [mm] $n\,$ [/mm] nicht überschreitet.
Ob das nun Sinn macht, weiß ich nicht, denn ich denke, dass es mit
Taylorreihen hier wohl schneller geht, aber natürlich könntest Du auch
nun den Ansatz machen:
Wir betrachten zwei Fälle. Erster Fall: $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] sei $(n+1)$-mal
differenzierbar, aber [mm] $f\,$ [/mm] sei kein Polynom. Dann wäre zu zeigen, dass
dann aber doch nicht [mm] $f^{(n+1)}=0$ [/mm] folgt - d.h. dass es dann ein
[mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] gibt mit [mm] $f^{(n+1)}(x_0) \not=0\,.$
[/mm]
Und Du betrachtest den zweiten Fall: [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] sei $(n+1)$-mal
differenzierbar und [mm] $f\,$ [/mm] sein ein Polynom vom Grad $> [mm] n\,,$ [/mm] und zeigst
den gleichen Widerspruch wie im ersten Fall.
Den zweiten Fall kann man dann wirklich einfach durchführen analog zu
oben - halt unter Beachtung von [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^N a_k x^k$ [/mm] mit
$N > [mm] n\,$ [/mm] und [mm] $a_N \not=0\,,$ [/mm] wenn man also [mm] $f\,$ [/mm] als Polynom vom
Grad $N > [mm] n\,$ [/mm] hat.
Den Widerspruch beim ersten Fall zu erzeugen wird sicher nicht ganz so
einfach sein. Ich denke, dass Du da mit Taylorreihen arbeiten musst.
Und deswegen denke ich, dass hier ein Widerspruchsbeweis mit dieser
Fallunterscheidung in zwei Fällen eigentlich die Sache ein wenig mehr
Arbeit macht, als nötig: Ich denke, dass man einfach mit der
Voraussetzung, dass $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] ($n+1$)-mal diff'bar sei und
[mm] $f^{(n+1)}=0$ [/mm] gelte, einfach mit einer Taylorreihenentwicklung direkt
folgern kann, dass [mm] $f\,$ [/mm] wie gefordert als Polynom dargestellt werden
kann. Denn naheliegend ist es doch schonmal, [mm] $f\,$ [/mm] dann um den Punkt
[mm] $x_0$ [/mm] in die Taylorreihe zu entwickeln...
P.S.
Die [mm] $n\,$-te [/mm] Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] schreibe ich aus Gewohnheitsgründen
nicht als [mm] $f^n\,,$ [/mm] sondern als [mm] $f^{(n)}\,.$ [/mm] Da besteht auch weniger
die Gefahr, dass, wenn man [mm] $f^{(n)}(x)$ [/mm] schreibt, dies mit
[mm] $(f(x))^n$ [/mm] verwechselst wird. Bei Eurer Notation wäre sicher nicht
[mm] $\sin^2+\cos^2=1$ [/mm] so formulierbar - denn hier bedeutet [mm] $\sin^2$
[/mm]
eben [mm] $\sin*\sin\,,$ [/mm] und nicht(!!) [mm] $(\sin\,')\,'\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo. Also schon einmal vielen dank für diese Antwort, sie hat mir sehr geholfen! Echt vielen vielen Dank.
Nun habe ich zur Rückrichtung noch eine Frage. Wenn die Voraussetzung ist, dass die Funktion mindestens n+1 mal diffbar ist und [mm] f^{(n+1)} [/mm] (x) =0, wie soll ich hier Taylor anwenden? Ich selbst kann die Taylor Reihe von Funktionen berechnen, aber ich habe hier doch keine Vorstellung der Funktion... Ich weis nicht wie ein Glied oder eine Ordnung der Taylor Reihe hier aussehen könnte.
Ich habe mir noch überlegt, dass wenn eine Fubktion n+1 mal diffbar ist, dann doch auch n+1 mal Intbar oder nicht? Wenn ich nun Anfange bei [mm] f^{(n+1)}(x)=0 [/mm] und von da aus alles hoch integriere und am Ende die konstanten einfach als [mm] a_i [/mm] definiere, sehe ich ja auch, dass der grad nicht größer n sein kann oder. Ist halt die frage, ob n+1 diffbar auch n+1 Intbar impliziert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Di 30.10.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo. Also schon einmal vielen dank für diese Antwort,
> sie hat mir sehr geholfen! Echt vielen vielen Dank.
>
> Nun habe ich zur Rückrichtung noch eine Frage. Wenn die
> Voraussetzung ist, dass die Funktion mindestens n+1 mal
> diffbar ist und [mm]f^{(n+1)}[/mm] (x) =0, wie soll ich hier Taylor
> anwenden? Ich selbst kann die Taylor Reihe von Funktionen
> berechnen, aber ich habe hier doch keine Vorstellung der
> Funktion... Ich weis nicht wie ein Glied oder eine Ordnung
> der Taylor Reihe hier aussehen könnte.
>
> Ich habe mir noch überlegt, dass wenn eine Fubktion n+1
> mal diffbar ist, dann doch auch n+1 mal Intbar oder nicht?
> Wenn ich nun Anfange bei [mm]f^{(n+1)}(x)=0[/mm] und von da aus
> alles hoch integriere und am Ende die konstanten einfach
> als [mm]a_i[/mm] definiere, sehe ich ja auch, dass der grad nicht
> größer n sein kann oder. Ist halt die frage, ob n+1
> diffbar auch n+1 Intbar impliziert.
Hallo,
du brauchst keine Taylor-Reihe.
Aus [mm]f^{(n+1)}(x)=0[/mm] bekommt man durch Integrieren
[mm]f^{(n)}(x)=0+c_0[/mm] und daraus durch Intergieren
[mm]f^{(n-1)}(x)=c_0*x+c_1[/mm] und daraus durch Integrieren
[mm]f^{(n-2)}(x)=\frac{c_0}{2}*x^2+c_1*x+c_2[/mm] .
Das setzt man so lange fort, bis man die "nullte Ableitung von f", also f selbst, erhält. Es entsteht laut Integrationsregeln ein wunderbares Polynom (bei dem möglicherweise einige der Konstanten c auch Null sind). Das Polynom ist also vom Grad n oder von kleinerem Grad.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Di 30.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> > Hallo. Also schon einmal vielen dank für diese Antwort,
> > sie hat mir sehr geholfen! Echt vielen vielen Dank.
> >
> > Nun habe ich zur Rückrichtung noch eine Frage. Wenn die
> > Voraussetzung ist, dass die Funktion mindestens n+1 mal
> > diffbar ist und [mm]f^{(n+1)}[/mm] (x) =0, wie soll ich hier Taylor
> > anwenden? Ich selbst kann die Taylor Reihe von Funktionen
> > berechnen, aber ich habe hier doch keine Vorstellung der
> > Funktion... Ich weis nicht wie ein Glied oder eine Ordnung
> > der Taylor Reihe hier aussehen könnte.
> >
> > Ich habe mir noch überlegt, dass wenn eine Fubktion n+1
> > mal diffbar ist, dann doch auch n+1 mal Intbar oder nicht?
> > Wenn ich nun Anfange bei [mm]f^{(n+1)}(x)=0[/mm] und von da aus
> > alles hoch integriere und am Ende die konstanten einfach
> > als [mm]a_i[/mm] definiere, sehe ich ja auch, dass der grad nicht
> > größer n sein kann oder. Ist halt die frage, ob n+1
> > diffbar auch n+1 Intbar impliziert.
> Hallo,
> du brauchst keine Taylor-Reihe.
nur mal nebenher, auch, wenn das nicht Dein Verschulden ist: Konkret
"brauchen" tut er sie nicht - man kann sie aber verwenden, um das
Gewünschte zu folgern.
"Brauchen" und "müssen" klingt in der Mathematik immer so, dass das
notwendig ist - im Sinne von "ohne das geht das nicht". Aber gerade in der
Mathematik führen doch viele Wege zum Ziel...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Di 30.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo. Also schon einmal vielen dank für diese Antwort,
> sie hat mir sehr geholfen! Echt vielen vielen Dank.
>
> Nun habe ich zur Rückrichtung noch eine Frage. Wenn die
> Voraussetzung ist, dass die Funktion mindestens n+1 mal
> diffbar ist und [mm]f^{(n+1)}[/mm] (x) =0, wie soll ich hier Taylor
> anwenden? Ich selbst kann die Taylor Reihe von Funktionen
> berechnen, aber ich habe hier doch keine Vorstellung der
> Funktion... Ich weis nicht wie ein Glied oder eine Ordnung
> der Taylor Reihe hier aussehen könnte.
>
> Ich habe mir noch überlegt, dass wenn eine Fubktion n+1
> mal diffbar ist, dann doch auch n+1 mal Intbar oder nicht?
> Wenn ich nun Anfange bei [mm]f^{(n+1)}(x)=0[/mm] und von da aus
> alles hoch integriere und am Ende die konstanten einfach
> als [mm]a_i[/mm] definiere, sehe ich ja auch, dass der grad nicht
> größer n sein kann oder. Ist halt die frage, ob n+1
> diffbar auch n+1 Intbar impliziert.
na, Du kannst so doch "locker" rekursiv den ![[]](/images/popup.gif) HDI anwenden. (Prüfe, dass die
Voraussetzungen zur Anwendung gegeben sind - da gibt's jedenfalls
Formulierungen, wo etwas von Stetigkeit mit drin steht!)
Allerdings muss man da ein bisschen aufpassen, dass man das richtig
aufschreibt, wie man ihn anwendet, denn etwa in der obigen Formulierung
steht etwas von "abgeschlossenen Intervallen".
Und ich habe ja nicht gesagt, dass Taylor alleine das Mittel der Wahl ist -
sollte aber auch funktionieren: Satz 14.3
Denn: Sei $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] wie gefordert, dann dürfen wir obigen Satz
anwenden, da die Voraussetzungen zur Anwendungen des Satzes
gegeben sind (mit [mm] $I=\IR=(-\infty,\;\infty)$).
[/mm]
Sei [mm] $x_0=0$ [/mm] die Entwicklungsmitte. Dann ist [mm] $T_n(x)$ [/mm] (eigentlich besser
[mm] $T_{n,x_0}(x)$ [/mm] geschrieben) das gesuchte Polynom [mm] $(\le n)\,$-ten [/mm] Grades,
denn es gilt für alle $x [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] $$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{0*x^{n+1}}{(n+1)!}=0\,,$$
[/mm]
weil ja sowieso hier für alle [mm] $\xi \in \IR$ [/mm] eben [mm] $f^{(n+1)}(\xi)=0$ [/mm] ist
Aber wie gesagt: Das hängt ein wenig davon ab, ob ihr diese Version des
Taylorsatzes so kennt, oder welche ihr kennt. Zumal Deine Idee mit dem
HDI hier eigentlich auch die ist, die in naheliegender Weise zum Ziel führt.
Nur, wie Du vielleicht dem Skript entnimmst: Ich dachte halt, dass ihr evtl.
noch keine Integrale/Stammfunktionen behandelt hattet - weil wir halt
den Taylorschen Satz auch behandelt hatten, obwohl Integrale/Stammfunktionen
noch nicht eingeführt worden waren! Daher dachte ich auch direkt an
Taylor!
P.S. Bei Deiner Argumentation kann man auch sowas benutzen wie, dass
man sich bei Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] überlegt/benutzt, dass
Stammfunktionen halt bis auf Konstanten eindeutig sind!
Gruß,
Marcel
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