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| Aufgabe | Seien m, n [mm] \in \IN, x_1,..,x_m \in \IR^n [/mm] und k < min{ [mm] rang(x_1,..,x_m), [/mm] n-1 } und c [mm] \in \IR^n [/mm] mit [mm] cx_i [/mm] = 0 für i = 1,..,k und [mm] cx_j [/mm] < 0 für j = k + 1,..,m. Zeigen
Sie: Es gibt ein c' [mm] \in \IR^n [/mm] mit [mm] c'x_i [/mm] = 0 für i = 1,..,k und [mm] c'x_j \le [/mm] 0 für j = k + 1,..,m und [mm] c'x_j [/mm] = 0 für mindestens ein j [mm] \in [/mm] {k + 1,..,m}. |
Hallo an alle,
ich habe Probleme bei dem Beweis der Aussage und hoffe, dass ihr eine Idee habt wie man ihn beweisen könnte.
Erstmal zu den Vorrausetzungen und das was ich eigentlich zeigen soll:
Die Vorraussetzungen: Es gibt einen Vektor c [mm] \in \IR^n [/mm] und eine Menge an Vektoren [mm] x_i [/mm] mit i [mm] \in \IN_m [/mm] := {1,..,m}. Nun gibt es eine Menge K [mm] \subset \IN_m [/mm] mit K:={1,..,k} mit [mm] cx_k [/mm] = 0 k [mm] \in [/mm] K und eine Menge K' [mm] \subset \IN_m [/mm] mit K':={k+1,..,m} und [mm] cx_j \le [/mm] 0 für j.
Anschaulich bedeutet das aber doch, dass wenn ich eine Hyperebene [mm] H_{c,0} [/mm] (also die x mit cx = 0) definiere, dann liegen auf dieser Hyperebene die [mm] x_k [/mm] (k [mm] \in [/mm] K) und die [mm] x_j [/mm] (j [mm] \in [/mm] K') liegen im negativen Halbraum der Hyperebene.
Ok und ich muss jetzt beweisen, dass es einen Vektor c' gibt, dessen Hyperbene [mm] H_{c',0} [/mm] nicht nur die [mm] x_k [/mm] (k [mm] \in [/mm] K) enthält, sondern auch ein [mm] x_j [/mm] mit j [mm] \in [/mm] {k+1,..,m}. Würdet ihr da mitgehen?
Zum Beweis: Die Frage die sich nun stellt ist ja, wie man ein solches c' konstruiert. Nun haben wir vor Kurzem den Hauptsatz über lineare Ungleichungen gehabt und ich denke, dass es darüber geht. Der lautet wie folgt (bin mir unsicher, ob ihr den kennt):
Seien m, n [mm] \in \IN, x_1, [/mm] . . . , [mm] x_m, [/mm] x [mm] \in \IR^n [/mm] und t = [mm] rang(x_1, [/mm] . . . , [mm] x_m, [/mm] x). Dann trifft genau eine der folgenden beiden Aussagen zu.
a) Es gibt eine Teilmenge J von [mm] N_m [/mm] sowie eine Familie [mm] (a_i)_{i \in J} [/mm] nicht-negativer
reeller Zahlen, so dass die Familie [mm] (x_i) [/mm] _{i [mm] \in [/mm] J} linear unabhängig ist und
x = [mm] \summe_{i \in J}^{} a_i [/mm] * [mm] x_i [/mm] gilt.
b) Es gibt eine Teilmenge I von [mm] N_m [/mm] sowie ein c [mm] \in \IR^n [/mm] mit den folgenden
Eigenschaften:
(i) |I| = t − 1.
(ii) [mm] (x_i)_{i \in I} [/mm] ist linear unabhängig.
(iii) [mm] cx_i [/mm] = 0 für alle i [mm] \in [/mm] I .
(iv) [mm] cx_i \ge [/mm] 0 für alle i [mm] \in N_m
[/mm]
(v) cx < 0.
Meine Beweisidee ist jetzt folgende:
Ich nehme mir die [mm] x_k [/mm] (k [mm] \in [/mm] K) und zwei Vektoren [mm] x_j [/mm] aus K' (ich nenne sie mal [mm] x_{j1} [/mm] und [mm] x_{j2}). [/mm] Dann habe ich eine Menge k+2 Vektoren [mm] x_1,..,x_k,x_{j1},x_{j2}. [/mm] Nun konstruiere ich mir (*) einen Vektor x, der sich als Linearkombination der Vektoren [mm] x_1,..,x_k,x_{j1},x_{j2} [/mm] ergibt und für den in der Linearkombination ein Skalar negativ ist. Dadurch schließe ich die Aussage 1 im Hauptsatz aus und weiß das Aussage 2 gilt.
Aussage 2 sichert mir ja zu, dass es einen Vektor h gibt und eine Menge I an Vektoren mit der Mächtigkeit k + 1. Und wenn ich c' = -h betrachte, dann erhalte ich so die Aussage, die ich haben möchte.
OK, soweit meine Idee. Meint ihr das ist richtig oder seht ihr einen einfacheren Weg. Mein Problem bei dieser Idee besteht in Schritt (*), weil ich nicht weiß, wie ich den Vektor x konstruieren soll. V.a. muss ich auch noch sicherstellen, dass der Rang von [mm] (x_1,..,x_k,x_{j1},x_{j2}) [/mm] gleich k+2 ist, damit ich überhaupt die Vorraussetzungen erfülle. Aber kann ich das denn so einfach vorraussetzen?
Ich bin über jede Hilfe dankbar!
Grüße, Steffen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 So 19.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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