Satz v abgeschlossenen Graphen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Mi 08.04.2009 | | Autor: | eps |
| Aufgabe | Es seien X, Y,Z Banachräume. Es sei T : X [mm] \to [/mm] Y linear, J : Y [mm] \to [/mm] Z linear,
injektiv und stetig sowie JT : X [mm] \to [/mm] Z stetig.
Beweisen Sie, dass auch T stetig ist. |
ich weiss, dass ich am ende den satz vom abgeschlossenen graphen anwenden möchte.
ich möchte also zunächst zeigen, dass T abgeschlossen ist.
das ist der fall, wenn folgendes gilt:
[mm] (x_{n} \to [/mm] x) [mm] \wedge [/mm] (es ex.ein y: Tx [mm] \to [/mm] y) [mm] \Rightarrow [/mm] Tx = y
aber wie bekomm ich den anfang des beweises hin???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:58 Do 09.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es seien X, Y,Z Banachräume. Es sei T : X [mm]\to[/mm] Y linear, J :
> Y [mm]\to[/mm] Z linear,
> injektiv und stetig sowie JT : X [mm]\to[/mm] Z stetig.
>
> Beweisen Sie, dass auch T stetig ist.
> ich weiss, dass ich am ende den satz vom abgeschlossenen
> graphen anwenden möchte.
> ich möchte also zunächst zeigen, dass T abgeschlossen ist.
Geh dazu doch wie folgt vor.
Betrachte den Graphen [mm] $\Gamma(T) [/mm] := [mm] \{ (x, T(x)) \mid x \in X \} \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] Y$ und den Graphen [mm] $\Gamma(J [/mm] T) = [mm] \{ (x, J T(x)) \mid x \in X \} \subseteq [/mm] X [mm] \times [/mm] Z$ und betrachte die Abbildung $J' : X [mm] \times [/mm] Y [mm] \to [/mm] X [mm] \times [/mm] Z$, $(x, y) [mm] \mapsto [/mm] (x, z)$.
Zeige jetzt:
a) $J'$ ist stetig;
b) [mm] $(J')^{-1}(\Gamma(J [/mm] T)) = [mm] \Gamma(T)$.
[/mm]
Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist [mm] $\Gamma(J [/mm] T)$ abgeschlossen, womit mit a) auch [mm] $\Gamma(T)$ [/mm] abgeschlossen ist; daraus folgt dann mit dem Satz vom abgeschlossenen Graphen, dass $T$ stetig ist.
Alternativ kannst du aber auch so vorgehen:
> das ist der fall, wenn folgendes gilt:
> [mm](x_{n} \to[/mm] x) [mm]\wedge[/mm] (es ex.ein y: Tx [mm]\to[/mm] y) [mm]\Rightarrow[/mm]
> Tx = y
Das $y : T x [mm] \to [/mm] y$ soll wohl $y : T [mm] x_n \to [/mm] y$ heissen.
> aber wie bekomm ich den anfang des beweises hin???
Nimm dir eine solche konvergente Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und solch ein $y$.
Wende doch mal $J$ auf $T [mm] x_n$ [/mm] und auf $y$ an. Was kannst du dann mit der Stetigkeit von $J$ folgern?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Do 09.04.2009 | | Autor: | eps |
super - danke für die schnelle antwort!
also wenn ich nach der zweiten lösungsvariante gehe, habe ich folgendes:
zu zeigen:
> > [mm](x_{n} \to[/mm] x) [mm]\wedge[/mm] (es ex.ein y: Tx [mm]\to[/mm] y)
> [mm]\Rightarrow Tx = y[/mm]
>
> Das [mm]y : T x \to y[/mm] soll wohl [mm]y : T x_n \to y[/mm] heissen.
Sei also [mm] (x_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge in X mit [mm](x_{n} \to x)[/mm] und sei [mm]y \in Y[/mm] mit [mm]T x_{n} \to y [/mm]
wende J auf [mm]T x_{n} [/mm] an. es folgt:
[mm]JT x_{n} \to Jy[/mm]
Da JT stetig und J stetig sind, folgt weiterhin
[mm]JT x_{n} = Jy[/mm]
[mm]\Rightarrow T x_{n} = y [/mm]
[mm]\Rightarrow T abgeschlossen [/mm](und linear n.V.)
[mm]\Rightarrow T stetig [/mm](nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen)
aber wozu brauch ich das argument [mm](x_{n} \to x)[/mm]?
hab doch noch etwas unklarheit, ob das alles so passt.
danke schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Do 09.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> super - danke für die schnelle antwort!
> also wenn ich nach der zweiten lösungsvariante gehe, habe
> ich folgendes:
>
>
> zu zeigen:
>
> > > [mm](x_{n} \to[/mm] x) [mm]\wedge[/mm] (es ex.ein y: Tx [mm]\to[/mm] y)
> > [mm]\Rightarrow Tx = y[/mm]
> >
> > Das [mm]y : T x \to y[/mm] soll wohl [mm]y : T x_n \to y[/mm] heissen.
>
>
> Sei also [mm](x_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Folge in X mit [mm](x_{n} \to x)[/mm]
> und sei [mm]y \in Y[/mm] mit [mm]T x_{n} \to y[/mm]
>
> wende J auf [mm]T x_{n}[/mm] an. es folgt:
>
> [mm]JT x_{n} \to Jy[/mm]
>
> Da JT stetig und J stetig sind, folgt weiterhin
>
> [mm]JT x_{n} = Jy[/mm]
Das ist Unsinn ! Gleichheit ?
>
> [mm]\Rightarrow T x_{n} = y[/mm]
>
Ebenfalls
> [mm]\Rightarrow T abgeschlossen [/mm](und linear n.V.)
>
> [mm]\Rightarrow T stetig [/mm](nach dem Satz vom abgeschlossenen
> Graphen)
>
>
> aber wozu brauch ich das argument [mm](x_{n} \to x)[/mm]?
>
> hab doch noch etwas unklarheit, ob das alles so passt.
Es passt nicht. Wenn Du die Injektivität von J nicht benutzt kanns ja nichts werden !
Machen wir es mal:
Wir haben:
(1) [mm] $x_n \to [/mm] x$ und (2) [mm] $Tx_n \to [/mm] y$
Zu zeigen ist; $Tx = y$
Da $J$ stetig ist folgt aus (2):
(3) [mm] $JTx_n \to [/mm] Jy$
Da $JT$ stetig ist folgt aus (1):
(4) [mm] $(JT)x_n \to [/mm] (JT)x$
Aus (3) und (4) folgt: $Jy = JTx$
Die Injektivität von J zeigt dann: Tx = y
FRED
> danke schonmal!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:17 Do 09.04.2009 | | Autor: | eps |
dankeschön 
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