Satz von Bayes < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Über eine bestimmte Stoffwechselkrankheit ist bekannt, dass sie ca. eine von 150 Personen befällt. Ein recht zuverlässiger Test fällt bei tatsächlich erkrankten Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von 97% positiv aus. Bei Personen, die nicht krank sind, fällt er mit 95% Wahrscheinlichkeit negativ aus.
a) Jemand lässt sich testen und erhält ein positives Resultat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er tatsächlich erkrankt? |
Hallo:)
Ich habe mir zuerst ein Baumdiagramm aufgezeichnet:
E= Erkrankt
[mm] \overline{E}= [/mm] Nicht Erkrankt
T= Test positiv
[mm] \overline{T}= [/mm] Test negativ
Dann habe ich die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten eingetragen:
P(E)= 1/150
[mm] P(\overline{E})= [/mm] 149/150
P(T/E)= 97/100
[mm] P(\overline{T}/E)= [/mm] 3/100
[mm] P(\overline{E}/T)= [/mm] 5/100
[mm] P(\overline{E}/\overline{T})= [/mm] 95/100
Für a) muss ich P(E/T) ausrechnen: Also Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand krank ist unter der Bedingung, dass der Test positiv ist.
Ich habe dann den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit angewendet, um danach den Satz von Bayes anwenden zu können:
P(T)= [mm] P(E)*P(T/E)+P(\overline{E})*P(T/\overline{E})
[/mm]
Also: P(T)= 1/150*97/100+149/150*5/100
= 421/7500
Da die Bedingung in meinem Baumdiagramm sich vertauscht (vorher waren E und [mm] \overline{E} [/mm] die Bedingungen) muss ich den Satz von Bayes anwenden:
P(E/T)= [mm] \bruch{P(E/T)}{P(T)}*P(E)
[/mm]
Ist das bis jetzt so richtig? Ich meine nämlich, dass unser Mathelehrer am Ende statt P(E/T) im Satz von Bayes, P(T/E) aufgeschrieben hat, aber wieso????
Vielen Dank!
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Hallo,
> Über eine bestimmte Stoffwechselkrankheit ist bekannt,
> dass sie ca. eine von 150 Personen befällt. Ein recht
> zuverlässiger Test fällt bei tatsächlich erkrankten
> Personen mit einer Wahrscheinlichkeit von 97% positiv aus.
> Bei Personen, die nicht krank sind, fällt er mit 95%
> Wahrscheinlichkeit negativ aus.
> a) Jemand lässt sich testen und erhält ein positives
> Resultat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er
> tatsächlich erkrankt?
> Hallo:)
>
> Ich habe mir zuerst ein Baumdiagramm aufgezeichnet:
>
> E= Erkrankt
> [mm]\overline{E}=[/mm] Nicht Erkrankt
> T= Test positiv
> [mm]\overline{T}=[/mm] Test negativ
>
> Dann habe ich die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten
> eingetragen:
> P(E)= 1/150
> [mm]P(\overline{E})=[/mm] 149/150
> P(T/E)= 97/100
> [mm]P(\overline{T}/E)=[/mm] 3/100
> [mm]P(\overline{E}/T)=[/mm] 5/100
> [mm]P(\overline{E}/\overline{T})=[/mm] 95/100
>
> Für a) muss ich P(E/T) ausrechnen: Also Die
> Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand krank ist unter der
> Bedingung, dass der Test positiv ist.
>
> Ich habe dann den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
> angewendet, um danach den Satz von Bayes anwenden zu
> können:
> P(T)= [mm]P(E)*P(T/E)+P(\overline{E})*P(T/\overline{E})[/mm]
>
> Also: P(T)= 1/150*97/100+149/150*5/100
> = 421/7500
>
> Da die Bedingung in meinem Baumdiagramm sich vertauscht
> (vorher waren E und [mm]\overline{E}[/mm] die Bedingungen) muss ich
> den Satz von Bayes anwenden:
>
> P(E/T)= [mm]\bruch{P(E/T)}{P(T)}*P(E)[/mm]
>
> Ist das bis jetzt so richtig? Ich meine nämlich, dass
> unser Mathelehrer am Ende statt P(E/T) im Satz von Bayes,
> P(T/E) aufgeschrieben hat, aber wieso????
>
> Vielen Dank!
Es ist alles richtig, bis auf die Bayes'sche Formel. Da hat dein Lehrer Recht. Dass das so wie du es aufgeschrieben hast nicht sein kann, kannst du dir leicht klarmachen: es müsste dann nämlich P(E)=P(T) gelten, damit die Gleichung stimmt. Um die Formel zu verstehen, lies mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 So 01.09.2013 | | Autor: | leasarfati |
Stimmt, jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank für die Hilfe!!!
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