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| Aufgabe | Berechnen Sie für die Matrix
A = [mm] \pmat{ 2&2&2&-2\\ -1&-1&-1&3\\-2&-2&-1&0\\1&1&3&3& }
[/mm]
die Matrix B = [mm] A^{10}-3A^{9}-A^{2}+4A
[/mm]
mithilfe des Satzes von Cayley-Hamilton.
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Hallo,
also ich habe erst mal heirfür das chara. Polynom von A berechnet.
[mm] p_{A} [/mm] = [mm] x^{4}-3x^{3}+x^{2}-3x
[/mm]
Nach Hamilton ist ja deswegen:
[mm] A^{4}-3A^{3}+A^{2}-3A [/mm] = 0
Jetzt wäre ja der nächste Schritt diese Polynom aus B rauszuzeihen, damit man B leichter berechnen kann. Und hier komm ich nicht weiter... ich gehe davon aus und hoffe das mein char. Polynom richtig ist...
Snafu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Do 04.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Berechnen Sie für die Matrix
> A = [mm]\pmat{ 2&2&2&-2\\ -1&-1&-1&3\\-2&-2&-1&0\\1&1&3&3& }[/mm]
>
> die Matrix B = [mm]A^{10}-3A^{9}-A^{2}+4A[/mm]
>
> mithilfe des Satzes von Cayley-Hamilton.
>
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> Hallo,
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> also ich habe erst mal heirfür das chara. Polynom von A
> berechnet.
> [mm]p_{A}[/mm] = [mm]x^{4}-3x^{3}+x^{2}-3x[/mm]
>
> Nach Hamilton ist ja deswegen:
> [mm]A^{4}-3A^{3}+A^{2}-3A[/mm] = 0
>
> Jetzt wäre ja der nächste Schritt diese Polynom aus B
> rauszuzeihen, damit man B leichter berechnen kann. Und hier
> komm ich nicht weiter... ich gehe davon aus und hoffe das
> mein char. Polynom richtig ist...
Holzhammer: es gilt [m]A^4=\ldots[/m] mit kleineren Potenzen. Nun reduziere mittels [m]A^{k+4)=A^k*(\ldots)[/m] B solange, bis nur Potenzen dritten Grades drauf kommen. Alternativ multipliziere mla die CH-Gleichung mit [m]A^6[/m], dann vergleiche und reduziere B, dann mache das nochmal mit einer kleineren Potenz usw usf.
SEcki
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Hi,
tut mir leid, aber das habe ich jetzt nicht ganz verstanden, was ich jetzt genau tun soll. Wäre es möglich eine Beispielrechnung zu machen?
Snafu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir wissen (nach Cayley - Hamilton):
(*) [mm] A^4-3A^3= -(A^2-3A)$
[/mm]
Dann folgt: [mm] A^{10}-3A^9=A^6(A^4-3A^3)= -A^6(A^2-3A)= -(A^8-3A^7)=-A^4(A^4-3A^3)$
[/mm]
Jetzt wieder (*) anwenden , etc ....
Wenn Du richtig rechnest kommt am Ende $B=A$ heraus
FRED
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Hi,
tatsache!! Wie kommt man denn auf so eine Strategie?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Do 04.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> tatsache!! Wie kommt man denn auf so eine Strategie?
.............. nachdenken, probieren, .............
FRED
>
> Danke!
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