Satz von Dini < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:53 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Man zeige den Satz von Dini : Die Funktionenfolge [mm] f_n: [/mm] I=[a,b] [mm] \to \IR
[/mm]
stetiger Funktionen sei monoton fallend, d.h. für jedes feste x [mm] \in [/mm] [a,b] sei die Folge [mm] f_n [/mm] (x) monoton fallend. Ferner konvergiere die Folge [mm] f_n [/mm] punktweise gegen eine stetige Funktion f: [a,b] [mm] \to \IR. [/mm] Dann konvergiert die Folge [mm] f_n [/mm] bereits gleichmäßig gegen f .
Hinweis: Man betrachte die Funktionen [mm] g_n(x):=f_n(x)-f(x), [/mm] und Punkte [mm] x_n \in [/mm] I mit der Eigenschaft, dass [mm] g_n(x_n)=max(g_n) [/mm] gilt. Zeige nun unter Zuhilfenahme eines Hä̈ufungspunktes x der Folge [mm] x_n [/mm] , dass die Folge [mm] g_n(x_n) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist, und folgere daraus den Satz von Dini!
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Hi!
Ich wollte hier um Rat fragen.
Bis hier hin habe ich es erst einmal geschafft:
[mm] |f_n(x)-f(x)|=|g_n(x)| \le |g_n(x_n)|=||g_n||.
[/mm]
Nun muss ich also noch zeigen, dass [mm] g_n(x_n) [/mm] eine monoton fallende (wieso eigentlich monoton fallend?) Nullfolge ist.
Aber ich weiß noch nicht, wie zeigen soll, dass [mm] g_n(x_n) [/mm] eine Nullfolge ist. Anschaulich ist das recht klar, aber na ja. Und einen Häufungspunkt von [mm] x_n [/mm] habe ich auch nicht eingebaut. Es existiert zwar einer nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß, aber ich weiß nicht, wie ich ihn hier verwenden kann.
Hat jemand Denkanstöße für mich?
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Di 29.12.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
vielleicht kannst du ![[]](/images/popup.gif) hier etwas saugen.
Ansonsten Satz 7.13 in:
@misc{rudin-principles,
title={{Principles of mathematical analysis. 1976}},
author={Rudin, W.},
publisher={McGraw-Hill, New York}
}
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Di 29.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort!
Die Lösung aus der PDF ist recht interessant und auch gut nachzuvollziehen.
Aber ich denke dass mein Professor so als Knackpunkt ausgemacht hat, dass man dort irgendwie einen Häufungspunkt ins Spiel bringt.
Wenn mir und anderen da nichts einfällt, werde ich aber wohl die Variante mit den Mengen nehmen.
Daher lasse ich die Frage mal offen.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Mi 30.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man zeige den Satz von Dini : Die Funktionenfolge [mm]f_n:[/mm]
> I=[a,b] [mm]\to \IR[/mm]
> stetiger Funktionen sei monoton fallend,
> d.h. für jedes feste x [mm]\in[/mm] [a,b] sei die Folge [mm]f_n[/mm] (x)
> monoton fallend. Ferner konvergiere die Folge [mm]f_n[/mm]
> punktweise gegen eine stetige Funktion f: [a,b] [mm]\to \IR.[/mm]
> Dann konvergiert die Folge [mm]f_n[/mm] bereits gleichmäßig gegen
> f .
>
>
> Hinweis: Man betrachte die Funktionen [mm]g_n(x):=f_n(x)-f(x),[/mm]
> und Punkte [mm]x_n \in[/mm] I mit der Eigenschaft, dass
> [mm]g_n(x_n)=max(g_n)[/mm] gilt. Zeige nun unter Zuhilfenahme eines
> Hä̈ufungspunktes x der Folge [mm]x_n[/mm] , dass die Folge
> [mm]g_n(x_n)[/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist, und folgere
> daraus den Satz von Dini!
>
> Hi!
>
> Ich wollte hier um Rat fragen.
>
> Bis hier hin habe ich es erst einmal geschafft:
> [mm]|f_n(x)-f(x)|=|g_n(x)| \le |g_n(x_n)|=||g_n||.[/mm]
>
> Nun muss ich also noch zeigen, dass [mm]g_n(x_n)[/mm] eine monoton
> fallende (wieso eigentlich monoton fallend?) Nullfolge
> ist.
>
> Aber ich weiß noch nicht, wie zeigen soll, dass [mm]g_n(x_n)[/mm]
> eine Nullfolge ist. Anschaulich ist das recht klar, aber na
> ja. Und einen Häufungspunkt von [mm]x_n[/mm] habe ich auch nicht
> eingebaut. Es existiert zwar einer nach dem Satz von
> Bolzano-Weierstraß, aber ich weiß nicht, wie ich ihn hier
> verwenden kann.
>
> Hat jemand Denkanstöße für mich?
Nur diese Idee: für festes x ist [mm] $g_n(x)= f_n(x)-f(x)$ [/mm] (per Konstruktion) eine monoton fallende Nullfolge. Das gilt natürlich auch, wenn x ein Häufungspunkt von [mm] $(x_n)$ [/mm] ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielen Dank euch. Genau das ist mir heute Nacht um 5 auch aufgefallen, war aber zu müde nochmals on zu kommen und meinen Lösungsweg zu posten.
Ich habe das so gemacht:
Sei a Häufungspunkt von [mm] x_n.
[/mm]
Dann gilt [mm] 0=\limes_{n\rightarrow\infty}(g_{k_n}(a))=\limes_{n\rightarrow\infty}(g_{k_n}(\limes_{n\rightarrow\infty}x_{k_n}))=\limes_{n\rightarrow\infty}(\limes_{n\rightarrow\infty}(g_{k_n}(x_{k_n}))=\limes_{n\rightarrow\infty}(g_{k_n}(x_{k_n}))
[/mm]
Wobei die [mm] x_{k_n} [/mm] eine Teilfolge von [mm] x_n [/mm] ist, die eben gegen a konvergiert.
Und das "Limesrausziehen" geht eben, da g ja als Differenz von stetigen Funktionen wieder stetig ist.
Da [mm] g_n(x_n) [/mm] konvergiert [mm] (g_n(x_n) [/mm] ist monoton fallend und beschränkt, was ich schon gezeigt habe) und [mm] g_{k_n}(x_{k_n} [/mm] gegen 0 konvergiert, konvergiert auch [mm] g_n(x_n) [/mm] gegen 0.
Danke nochmals.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Fr 01.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielen Dank!
Teufel
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
