Satz von Gauß < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Kulli1 |
| Aufgabe | Berechne das Oberflächenintegral [mm] \integral_{}^{}\integral_{O}^{}{v dx}
[/mm]
für das folgende Vektorflächen und Flächen
a) v(x,y,z) = [mm] (x³,y³,z³)^T [/mm] und
O = {(x,y,z) [mm] \in \IR³ [/mm] : x²+y²+z² = 1 } |
Hallo,
ich habe den Integralsatz von Gauß wohl überhaupt nicht verstanden, speziell liegt mein Problem wohl bei substiturieren der Variablen.
Ich reche einfach mal was ich mir gedacgt hab:
div v = 3x² + 3y² + 3z²
nach dem Satz von Gauß müsste nun also
[mm] \integral_{D}{ 3(x²+y²+z²) dxdydz } [/mm] gelten.
setzte ich nun für x,y,z einfach die x-,y-,z- Zeilen einer Parameterdarstellung für einen Kreis ein komme ich vereinfacht auf
[mm] \integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}{3r² (cos²\gamma sin²\nu + sin²\gamma sin²\nu + cos²\nu) dr d\gamma d\nu } [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}{3r² dr d\gamma d\nu } [/mm]
und somit auf
[mm] 2\pi² [/mm]
was aber unsinn sein sollte : (
Könnte mir bitte jemand helfen und sagen was ich falsch mache ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Kulli1 |
Hallo ich sehe gerade das jemand dabei ist, diese Frage zu beantworten: Danke dafür, aber gerade ist mir die erlösende Idee gekommen:
Da das Volumen der Kugel bekanntlich [mm] 4\3 \pi [/mm] r³ gilt
V = [mm] 4\3 \pi [/mm] r³ abgeleitet nach r
[mm] dV\dr [/mm] = [mm] 4\3 \pi [/mm] r³
dV = [mm] 4\3 \pi [/mm] r³ dr
und dann kommt man natürlich auch auf richtige ergebniss.
Also danke für die Mühe trotzdem, ich hoffe derjenige sieht das noch rechtzeitig
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Sa 12.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne das Oberflächenintegral
> [mm]\integral_{}^{}\integral_{O}^{}{v dx}[/mm]
>
> für das folgende Vektorflächen und Flächen
>
> a) v(x,y,z) = [mm](x³,y³,z³)^T[/mm] und
> [mm]O = \{(x,y,z) \in \IR³ : x²+y²+z² = 1 \}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe den Integralsatz von Gauß wohl überhaupt nicht
> verstanden, speziell liegt mein Problem wohl bei
> substiturieren der Variablen.
>
> Ich reche einfach mal was ich mir gedacgt hab:
>
> div v = 3x² + 3y² + 3z²
>
> nach dem Satz von Gauß müsste nun also
>
> [mm]\integral_{D}{ 3(x²+y²+z²) dxdydz }[/mm] gelten.
>
> setzte ich nun für x,y,z einfach die x-,y-,z- Zeilen einer
> Parameterdarstellung für einen Kreis ein komme ich
> vereinfacht auf
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}\integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{1}{3r² (cos²\gamma sin²\nu + sin²\gamma sin²\nu + cos²\nu) dr d\gamma d\nu }[/mm]
Da hast du die Funktionaldeterminante für die Koordinatentransformation vergessen, unter dem Integral fehlt der Faktor [mm]r^2\cos\nu[/mm].
Dann komme ich auf [mm]\bruch{12\pi}{5}[/mm]. Dasselbe kommt heraus, wenn ich das Oberflächenintegral ausrechne.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Kulli1 |
Danke, deine Antwort hat mir trotzdem sehr geholfen auch, wenn ich auf das ergebniss schon vorher kam, das mit der Funktionaldeterminante kenne ich nämlich gar nicht.
muss man also nur mit der Funktionaldeterminante mal nehmen, aufleiten und hat dann das richtige ergebniss ?
Gruß
kulli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Sa 12.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zur Vorstellung: dxdydz ist ein kleiner Würfel, [mm] drdphid\theta [/mm] aber nicht!
mal dir ne Kugel auf und irgenwo bie [mm] r,\phi,\thta [/mm] -nicht grade auf dem Äquator nen kleinen Würfel indem du um dr nach innen, genausoweit auf nem Breiten und Längenkreis siehst. dann kannst du die "Längen des Würfels aus dem Bild ablesen!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 13.01.2008 | | Autor: | Kulli1 |
Hallo,
noch eine Frage zur Funktionaldeterminante. Ich komm nämlich beim ergebniss auf [mm] \bruch{-12 \pi }{5} [/mm] ,muss ich da irgendwo den betrag nehmen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 So 13.01.2008 | | Autor: | Kulli1 |
Hallo, vielleicht könnte ein Admin den Status der Frage ändern, ich habs rausbekommen, kann meine Frage aber leider nicht selbst beantworten.
also die Funktionsdeterminante lautet r² [mm] sin\nu [/mm] und deswegen fällt das minus dann bei aufleiten auch weg !
Danke nochmal allen !
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