www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Zahlentheorie" - Satz von Gauß
Satz von Gauß < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Satz von Gauß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Do 19.01.2012
Autor: Schmetterfee

Hallöchen,

ich bin wieder fleißig am Nachbereiten alter Vorlesungen im Hinblick auf Klausuren und der Beweis zu diesem Satz ärgert mich etwas, weil ich ihn nicht ganz verstehe.

Es geht um den Satz: für p>2 ist [mm] (\IZ/p^r \IZ)^{\times} [/mm] zyklisch für alle r.

wir haben den Beweis in 3 Schritten geführt und schon im ersteh haperts. Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen:

1. Schritt für r=1. Es gilt zu zeigen: [mm] (\IZ/p \IZ)^{\times} [/mm] = [mm] C_{p-1}. [/mm]
Für d | p-1 setze [mm] \psi(d):=\# \{x \in (\IZ/p \IZ)^{\times} | ord x=d \} [/mm]
Dann ist [mm] \summe_{d |p-1} \psi(d)=p-1 [/mm]
Woher weiß man das? Das will sich mir leider nicht erschließen.
Wir behaupten nun [mm] \phi(d) \ge \psi(d). [/mm]
Klar wenn [mm] \psi(d)=0. [/mm]
Wenn [mm] \psi(d)>0 [/mm] erxistiert x mit ord x=d. Dann sind [mm] x^0=1,x,..., x^{d-1} [/mm] Lösungen von [mm] y^d-1=0 [/mm]
Also sind das [mm] \underline{alle} [/mm] Lösungen, weil [mm] \IZ/p \IZ [/mm] ein Körper ist.
Wieso folgt, dass daraus? Das ist mir leider auch nicht wirklich klar. Welche Körpereigenschaft benötige ich denn dafür?
Insbesondere: alle z mit ord z=d kommen darunter vor, d.h. alle [mm] x^i [/mm] mit (i,d)=1, d.h. [mm] \phi(d), [/mm] also [mm] \phi(d)=\psi(d) [/mm]
Wie sieht man dann bitte diese Gleichheit? mir ist nicht klar wie ich von den z auf die [mm] x^i [/mm] schließen kann
Wegen [mm] \summe_{d |m} \phi(d)=m [/mm] folgt hieraus: [mm] \summe_{d |p-1} \phi(d)=p-1=\summe_{d |p-1} \psi(d) [/mm]
[mm] \Rightarrow \psi(d)>0 [/mm] für alle d, insbesondere [mm] \psi(p-1)>0. [/mm]
Ist das nicht ein kleiner Widerspruch dazu, dass alles klar ist wenn [mm] \psi(d)=0 [/mm] ist? Und woraus wird hiert genau geschlussfolgert das [mm] \psi(p-1)>0 [/mm] ist?

Ich hoffe mir kann jemand helfen meine Fragen in dem Beweis zu klären?
So langsam verzweifle ich daran.

LG Schmetterfee

        
Bezug
Satz von Gauß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:28 Fr 20.01.2012
Autor: Schmetterfee

Hallöchen,

kann mir keiner weiter helfen? Der Beweis ist leider solang das man einfach kein Land mehr sieht wenn schon hier Unklarheiten vorherschen

LG Schmetterfee

Bezug
        
Bezug
Satz von Gauß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:48 Sa 21.01.2012
Autor: hippias


> Hallöchen,
>  
> ich bin wieder fleißig am Nachbereiten alter Vorlesungen
> im Hinblick auf Klausuren und der Beweis zu diesem Satz
> ärgert mich etwas, weil ich ihn nicht ganz verstehe.
>  
> Es geht um den Satz: für p>2 ist [mm](\IZ/p^r \IZ)^{\times}[/mm]
> zyklisch für alle r.
>  
> wir haben den Beweis in 3 Schritten geführt und schon im
> ersteh haperts. Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen:
>  
> 1. Schritt für r=1. Es gilt zu zeigen: [mm](\IZ/p \IZ)^{\times}[/mm]
> = [mm]C_{p-1}.[/mm]
>  Für d | p-1 setze [mm]\psi(d):=\# \{x \in (\IZ/p \IZ)^{\times} | ord x=d \}[/mm]
>  
> Dann ist [mm]\summe_{d |p-1} \psi(d)=p-1[/mm]
>  Woher weiß man das?
> Das will sich mir leider nicht erschließen.

Der Grund ist der: Jedes Element hat natuerlich irgendeine Ordnung $d$; und $d$ teilt $p-1$, weil [mm] $x^{p-1}= [/mm] 1$ nach dem kleinen Satz von Fermat gilt und $d$ als kleinster Exponent mit dieser Eigenschaft $p-1$ teilt. Jetzt sage ich: Sei $D$ die Menge aller moeglichen Ordnungen von Elementen aus [mm] $\IZ_{p}^{\*}$, [/mm] welche also nur Teiler von $p-1$ enthaelt. Fuer [mm] $d\in [/mm] D$ sei [mm] $X_{d}:= \{x\in \IZ_{p}^{\*}| o(x)= d\}$. [/mm] Die [mm] $X_{d}$ [/mm] sind paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ergibt ganz [mm] $\IZ_{p}^{\*}$. [/mm] Ferner ist [mm] $\psi(d)= |X_{d}|$ [/mm] fuer [mm] $d\in [/mm] D$ und [mm] $\psi(d)= [/mm] 0$ falls [mm] $d\not\in [/mm] D$. Damit folgt [mm] $\sum_{d|p-1} \psi(d)= \sum_{d\in D} \psi(d)= \sum_{d\in D} |X_{d}|\stackrel{\dot{\cup}_{d\in D} X_{d}= \IZ_{p}^{\*}}{=} |\IZ_{p}^{\*}|= [/mm] p-1$ ist.

>  Wir behaupten nun [mm]\phi(d) \ge \psi(d).[/mm]
>  Klar wenn
> [mm]\psi(d)=0.[/mm]
>  Wenn [mm]\psi(d)>0[/mm] erxistiert x mit ord x=d. Dann sind
> [mm]x^0=1,x,..., x^{d-1}[/mm] Lösungen von [mm]y^d-1=0[/mm]
>  Also sind das [mm]\underline{alle}[/mm] Lösungen, weil [mm]\IZ/p \IZ[/mm]
> ein Körper ist.
>  Wieso folgt, dass daraus? Das ist mir leider auch nicht
> wirklich klar. Welche Körpereigenschaft benötige ich denn
> dafür?

Es ist ein bekannter Satz, dass ein Polynom ueber einem Koerper vom Grade $d$ hoechstens $d$ Nullstellen hat; das ist leicht zu beweisen und wird in bestimmt jedem Algebra-Buch vorgefuehrt. Hat man $d$ Nullstellen gefunden, sind genau alle moeglichen.

>  Insbesondere: alle z mit ord z=d kommen darunter vor, d.h.
> alle [mm]x^i[/mm] mit (i,d)=1, d.h. [mm]\phi(d),[/mm] also [mm]\phi(d)=\psi(d)[/mm]
>  Wie sieht man dann bitte diese Gleichheit? mir ist nicht
> klar wie ich von den z auf die [mm]x^i[/mm] schließen kann

Die [mm] $x\in X_{d}$ [/mm] sind Nullstellen des Polynoms $f= [mm] t^{d}-1$ [/mm] und die zyklische Gruppe $<x>$ liefert nach obiger Ueberlegung genau die Nullstellenmenge dieses Polynoms; anders gesagt [mm] $X_{d}\subseteq [/mm] <x>$ fuer [mm] $x\in X_{d}$. [/mm] Nun muessen nur noch Elemente der Ordnung $d$ in $<x>$ bestimmt werden: $<x>$ wird genau dann von [mm] $x^{i}$ [/mm] erzeugt, wenn [mm] $\gcd(d,i)= [/mm] 1$ gilt. Folglich enthaelt sie [mm] $\phi(d)$ [/mm] Erzeuger, d.h. [mm] $\phi(d)= |X_{d}|= \psi(d)$. [/mm]

>  Wegen [mm]\summe_{d |m} \phi(d)=m[/mm] folgt hieraus: [mm]\summe_{d |p-1} \phi(d)=p-1=\summe_{d |p-1} \psi(d)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \psi(d)>0[/mm] für alle d, insbesondere
> [mm]\psi(p-1)>0.[/mm]
>  Ist das nicht ein kleiner Widerspruch dazu, dass alles
> klar ist wenn [mm]\psi(d)=0[/mm] ist?

Nein, die Voraussetzung lautete [mm] $\psi(d)>0$; [/mm] der andre Fall in der Fallunterscheidung spielt fuer die eben durchgefuehrte Ueberlegung keine Rolle.

> Und woraus wird hiert genau

> geschlussfolgert das [mm]\psi(p-1)>0[/mm] ist?

Ihr habt [mm] $\psi(p-1)= \phi(p-1)>0$. [/mm]

>  
> Ich hoffe mir kann jemand helfen meine Fragen in dem Beweis
> zu klären?
>  So langsam verzweifle ich daran.
>  
> LG Schmetterfee

Der Beweis ist etwas konfus: Nachdem man [mm] $\phi(d)=\psi(d)$ [/mm] gezeigt hat, ist

>  Wegen [mm]\summe_{d |m} \phi(d)=m[/mm] folgt hieraus: [mm]\summe_{d |p-1} \phi(d)=p-1=\summe_{d |p-1} \psi(d)[/mm]

ueberfluessig; man fuehrt den Beweis aber auch gerne so, dass man nur [mm] $\phi(d)\geq \psi(d)$ [/mm] zeigt und aus der Summe

>  Wegen [mm]\summe_{d |m} \phi(d)=m[/mm] folgt hieraus: [mm]\summe_{d |p-1} \phi(d)=p-1=\summe_{d |p-1} \psi(d)[/mm]

schlussfolgert,dass sogar Gleichheit gelten muss. In jedem Fall ergibt sich [mm] $\psi(p-1)= \phi(p-1)>0$. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Satz von Gauß: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:58 Sa 21.01.2012
Autor: Schmetterfee

Hallöchen,

okay das habe ich nun verstanden und auch den Rest des Beweises habe ich durchdrungen. Mein Problem ist nur das mir die Idee dahinter nicht klar ist. So funktioniert der 2. Schritt ja so:
Es existier Erzeuger [mm] \overline{a} [/mm] von [mm] (\IZ/p\IZ)^\* [/mm] mit [mm] a^{p-1} \not\equiv [/mm] 1 mod [mm] p^2. [/mm]

Und das beweise ich dann ja einfach durch Widerspruch. aber ich verstehe nicht was es mir bringt dies zu zeigen.

LG Schmetterfee

Bezug
                        
Bezug
Satz von Gauß: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:58 Sa 21.01.2012
Autor: hippias

Dazu kann ich so nichts sagen, ohne dass Du den entsprechenden Beweistext vorzeigst. Ich persoehnlich wuerde die Behauptung vermutlich ganz anders angehen.

Bezug
                        
Bezug
Satz von Gauß: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 29.01.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Zahlentheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de