Satz von Gebietstreue < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Ist f eine nichtkonstante analytische Funktion auf dem Gebiet D, dann ist der Wertevorrat f(D) von f offen und bogenweise zusammenhängend, also wieder ein Gebiet |
Hi! Ich verstehe den Beweis hierzu nicht (Freitag/Busam FT 1; 4- Aufl. S.123f.)
Mir ist folgendes klar: Man muss zeigen, dass volle Umgebung von b=f(a) in f(D) enthalten ist; ebenso ist mir klar, dass man oBdA a=b=f(a)=0 annehmen kann. f kann man in Potenz entwickeln und kann schreiben
[mm] z=z^{n}h(z) [/mm] mit h(z)= [mm] a_n+a_{n+1}z+.... [/mm]
Es ist mir auch klar, dass h in Umgebung von 0 analytisch ist und von 0 verschieden, ebenso, dass f und h analytische n-te Wurzeln haben.
Der Beweis geht wie folgt weiter: [mm] f(z)=f_0(z)^n; [/mm] und jetzt verstehe ich nicht, warum [mm] f_0^{'}(0)^n=a_n [/mm] sein soll??
Doch selbst wenn ich das akzeptieren würde, käme ich mit dem weiteren Verlauf des Beweisis nicht weiter.
Wieso liefert der implizite Satz für Funktionen, dass Wertevorrat von [mm] f_0 [/mm] volle Umgebung von 0 enthält und was bringt mir das? Und wieso bleibt es dann nur noch zu zeigen, dass [mm] z^n [/mm] eine beliebeige Umgebung von 0 auf Umgebung von 0 abbildet?
Wäre nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 13.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
