Satz von Glivenko-Cantelli < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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![[]](/images/popup.gif) Hier habe ich einen nachvollziehbaren Beweis des Satzes von Glivenko-Cantelli gefunden. Ich verstehe bloß 2 Dinge nicht:
- Zum Einen, wie kommt man auf Zeile (75)?
- Zum Anderen weiß ich nicht, wieso 8 Zeilen darunter die Bahauptung bewiesen ist, wenn f stetig ist.
Da steht, man kommt mittels den Ungleichungen in (72) und dem zuvor gezeigten Ausdruck [mm] \displaystyle \vert\,\widehat F_n(z_k,\omega)-F(z_k)\vert<\varepsilon [/mm] auf die gewünschte Zeile (75). Das sehe ich aber so garnicht. Ich hab versucht an den beiden Ungleichungen in (72) mit Dreiecksungleiichung herumzubasteln und komme auf keinen grünen Zweig. Ich hätte mit der ersten der beiden Gleichugen bloß [mm] \vert\,\widehat F_n(z)-F(z)\vert\leq\vert\,\widehat F_n(z_{k+1})-F(z_{k+1})\vert+\epsilon, [/mm] was mir aber nichts bringt, weil ich ja nur eine Abschätzung für [mm] z_{k} [/mm] in den Argumenten habe.
Bezüglich der Stetigkeit stehe ich gerade echt auf der Leitung.
Danke für jegliche Hilfe im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:40 Di 08.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ancistrus und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> - Zum Einen, wie kommt man auf Zeile (75)?
Vermutlich soll es in Zeile (75) [mm] "$\le$" [/mm] statt "$<$" heißen.
> Da steht, man kommt mittels den Ungleichungen in (72) und
> dem zuvor gezeigten Ausdruck [mm]\displaystyle \vert\,\widehat F_n(z_k,\omega)-F(z_k)\vert<\varepsilon[/mm]
> auf die gewünschte Zeile (75). Das sehe ich aber so
> garnicht. Ich hab versucht an den beiden Ungleichungen in
> (72) mit Dreiecksungleiichung herumzubasteln und komme auf
> keinen grünen Zweig. Ich hätte mit der ersten der beiden
> Gleichugen bloß [mm]\vert\,\widehat F_n(z)-F(z)\vert\leq\vert\,\widehat F_n(z_{k+1})-F(z_{k+1})\vert+\epsilon,[/mm]
Diese von dir genannte Ungleichung sehe ich wiederum nicht...
Gemäß (72) gilt die entsprechende Ungleichung ohne Beträge.
> was mir aber nichts bringt, weil ich ja nur eine
> Abschätzung für [mm]z_{k}[/mm] in den Argumenten habe.
Aber die Abschätzung aus der Zeile vor (75) gilt du für ALLE [mm] $k\in\{0,1,\ldots,m\}$.
[/mm]
Insbesondere gilt sie für $k+1$, wobei [mm] $k\in\{0,1,\ldots,m-1\}$ [/mm] mit [mm] $z\in[z_k,z_{k+1})$ [/mm] gewählt sei:
[mm] $\vert\,\widehat F_n(z_{k+1},\omega)-F(z_{k+1})\vert<\varepsilon$
[/mm]
für [mm] $n\ge n(\omega)$.
[/mm]
Kommst du mit diesen knappen Hinweisen schon alleine weiter oder soll ich den Gesamtbeweis von (75) näher ausführen?
Viele Grüße
Tobias
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Zunächst einmal großen Dank für die Hilfe.
Heißt das, dass ich die zweite Zeile aus (72) garnicht brauche?
Können denn [mm] $\,\widehat F_n(z)-F(z)$ [/mm] bzw [mm] $\widehat F_n(z_{k+1})-F(z_{k+1})$ [/mm] negativ sein? (Wenn nein, wieso nicht?) Sonst würde ja die Ungleichung auch betragsmäßig gelten und so komme ich dann auf $ [mm] \vert\,\widehat F_n(z)-F(z)\vert\leq\vert\,\widehat F_n(z_{k+1})-F(z_{k+1})\vert+\epsilon [/mm] $ mittels Dreiecksungleichung.
Wenn dem so ist, braucht man die 2. Zeile ja wirklich nicht, was mich stutzig macht. Wenn nicht, bitte ich dich, den geneuen Beweis von (75) näher auszuführen denn ich weiß gerade nicht mehr weiter.
Das mit der Stetigkeit möchte ich mir selber noch überlegen - ganz verstehe ichs noch nicht. Wenn das so bleibt melde ich mich am Abend wieder.
Eine kleine Sache wäre da noch. Ist die Rechnung [mm] $\displaystyle P(A_m)=\displaystyle 1-P(A_m^c)=\displaystyle 1-P\Bigl(\bigcup\limits_{k=0}^m A_{m,k}^c\Bigr)\ge1-\sum\limits_{k=0}^m P(A_{m,k}^c) =1\,$ [/mm] wirklich notwendig um zu zeigen, dass [mm] $\displaystyle P(A_m)=1\,,$ [/mm] gilt? Reicht es denn nicht schon zu sagen, dass es sich hierbei um einen endlichen Schnitt über sichere Ereignisse handelt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Di 08.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Heißt das, dass ich die zweite Zeile aus (72) garnicht
> brauche?
Doch. (Zumindest brauche ich sie für meinen Beweis von (75).)
> Können denn [mm]\,\widehat F_n(z)-F(z)[/mm] bzw [mm]\widehat F_n(z_{k+1})-F(z_{k+1})[/mm]
> negativ sein? (Wenn nein, wieso nicht?)
Ich sehe keinen Grund, warum diese Zufallsgrößen nicht auch negative Werte annehmen können sollten.
> Sonst würde ja die
> Ungleichung auch betragsmäßig gelten und so komme ich
> dann auf [mm]\vert\,\widehat F_n(z)-F(z)\vert\leq\vert\,\widehat F_n(z_{k+1})-F(z_{k+1})\vert+\epsilon[/mm]
> mittels Dreiecksungleichung.
Wo du hier die Dreiecksungleichung verwendest, sehe ich nicht.
> Wenn dem so ist, braucht man die 2. Zeile ja wirklich
> nicht, was mich stutzig macht. Wenn nicht, bitte ich dich,
> den geneuen Beweis von (75) näher auszuführen denn ich
> weiß gerade nicht mehr weiter.
Mein Vorschlag:
Sei [mm] $\omega\in A_m$ [/mm] und [mm] $n\ge n(\omega)$.
[/mm]
Um (75) (mit [mm] "$\le$" [/mm] anstelle von "$<$") zu zeigen, sei [mm] $z\in\IR$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $|\widehat F_n(z,\omega)-F(z)|\le 2\varepsilon$.
[/mm]
Dazu genügt es zu zeigen:
(*) [mm] $-2\varepsilon\le\widehat F_n(z,\omega)-F(z)\le 2\varepsilon$.
[/mm]
Wir wählen [mm] $k\in\{0,1,\ldots,m-1\}$ [/mm] so, dass [mm] $z\in[z_k,z_{k+1})$.
[/mm]
Dann folgt aus (72) und der Ungleichung vor (75):
[mm] $\widehat F_n(z,\omega)-F(z)\le\widehat F_n(z_{k+1},\omega)-F(z_{k+1})+\varepsilon\le|F_n(z_{k+1},\omega)-F(z_{k+1})|+\varepsilon<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon$
[/mm]
sowie
[mm] $\widehat F_n(z,\omega)-F(z)\ge\widehat F_n(z_k,\omega)-F(z_k)-\varepsilon\ge-|\widehat F_n(z_k,\omega)-F(z_k)|-\varepsilon>-\varepsilon-\varepsilon=-2\varepsilon$.
[/mm]
Damit ist wie gewünscht (*) gezeigt.
> Eine kleine Sache wäre da noch. Ist die Rechnung
> [mm]\displaystyle P(A_m)=\displaystyle 1-P(A_m^c)=\displaystyle 1-P\Bigl(\bigcup\limits_{k=0}^m A_{m,k}^c\Bigr)\ge1-\sum\limits_{k=0}^m P(A_{m,k}^c) =1\,[/mm]
> wirklich notwendig um zu zeigen, dass [mm]\displaystyle P(A_m)=1\,,[/mm]
> gilt? Reicht es denn nicht schon zu sagen, dass es sich
> hierbei um einen endlichen Schnitt über sichere Ereignisse
> handelt?
Ja, das genügt, wenn du schon weißt, dass ein endlicher Schnitt sicherer Ereignisse stets wieder ein sicheres Ereignis ist.
Anderenfalls liefert diese Rechnung genau die Begründung dafür.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:02 Di 08.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
> - Zum Anderen weiß ich nicht, wieso 8 Zeilen darunter
> die Bahauptung bewiesen ist, wenn f stetig ist.
Die Stetigkeitsannahme für $F$ wurde direkt beim 2. Punkt des Beweises (um Gleichungen (71) herum) benutzt.
Sei [mm] $B:=\{\lim_{n\to\infty} D_n=0\}$.
[/mm]
Zu zeigen ist $P(B)=1$.
Wegen $P(A)=1$ genügt es dazu, [mm] $A\subseteq [/mm] B$ zu zeigen.
Sei also [mm] $\omega\in [/mm] A$.
Zu zeigen ist [mm] $\omega\in [/mm] B$, d.h.
[mm] $\lim_{n\to\infty}D_n(\omega)=0$.
[/mm]
Beachte dazu, dass gemäß dem Punkt nach (75) zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n(\omega,\varepsilon)\in\IN$ [/mm] existiert mit
[mm] $D_n(\omega)=\sup_{z\in\IR}|\widehat F_n(z,\omega)-F(z)|\le 2\varepsilon$
[/mm]
für alle [mm] $n\ge n(\omega,\varepsilon)$.
[/mm]
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