Satz von Green < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das Vektorfeld v
[mm] v(x,y)=\vektor{\bruch{x^2}{y} \\ xy}
[/mm]
und eine fläche, die durch diese Kurven berandet sei:
x=3, y=x, xy=1
Überprüfen Sie an diesem Beispiel den Satz von Green, indem Sie sowohl das Kurven- als auch das Flächenintegral berechnen. |
Für das Flächenintegral gilt:
[mm] \integral\integral_{B}{\bruch{\partial v_2}{\partial x}-\bruch{\partial v_1}{\partial y} dxdy}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial v_2}{\partial x}=y
[/mm]
[mm] \bruch{\partial v_1}{\partial y}=-\bruch{x^2}{y^2}
[/mm]
[mm] \integral\integral_{B}{(y+\bruch{x^2}{y^2}) dxdy}
[/mm]
Was sind hier die Integralgrenzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Sa 28.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei das Vektorfeld v
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> [mm]v(x,y)=\vektor{\bruch{x^2}{y} \\ xy}[/mm]
>
> und eine fläche, die durch diese Kurven berandet sei:
>
> x=3, y=x, xy=1
>
> Überprüfen Sie an diesem Beispiel den Satz von Green,
> indem Sie sowohl das Kurven- als auch das Flächenintegral
> berechnen.
>
> Für das Flächenintegral gilt:
>
> [mm]\integral\integral_{B}{\bruch{\partial v_2}{\partial x}-\bruch{\partial v_1}{\partial y} dxdy}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial v_2}{\partial x}=y[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial v_1}{\partial y}=-\bruch{x^2}{y^2}[/mm]
>
> [mm]\integral\integral_{B}{(y+\bruch{x^2}{y^2}) dxdy}[/mm]
>
> Was sind hier die Integralgrenzen?
>
Hast Du Dir eine Skizze von B gemacht ? Wenn ja, so solltest Du sehen:
[mm] $B=\{(x,y) \in \IR^2: 1 \le x \le 3, \bruch{1}{x} \le y \le x\}$
[/mm]
FRED
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> Hast Du Dir eine Skizze von B gemacht ? Wenn ja, so
> solltest Du sehen:
>
>
> [mm]B=\{(x,y) \in \IR^2: 1 \le x \le 3, \bruch{1}{x} \le y \le x\}[/mm]
>
müsste es nicht heißen:
[mm] 0
?
meine skizze sieht so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und für die schraffierte fläche ist x auch kleiner 1
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Sa 28.11.2015 | | Autor: | chrisno |
Die Gerade x = 3 ist falsch. Du hast y = 3 eingezeichnet.
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[mm] \integral_{1}^{3}\integral_{1/x}^{x}{(y+\bruch{x^2}{y^2}) dydx}
[/mm]
[mm] =\integral_{1}^{3}{[\bruch{1}{2}y^2-\bruch{x^2}{y}]_{1/x}^{x}dx}=\integral_{1}^{3}{\bruch{x^2}{2}-x-\bruch{1}{2x^2}+x^3dx}
[/mm]
[mm] =[\bruch{x^3}{6}-\bruch{x^2}{2}+\bruch{1}{2x}+\bruch{x^4}{4}]_{1}^{3}=20
[/mm]
So nun ist das Kurvenintegral dran. Ich hätte den Rand von der Fläche B so parametrisiert:
[mm] \gamma(t)=\gamma_1(t)+\gamma_2(t)+\gamma_3(t)
[/mm]
[mm] \gamma_1(t)=\vektor{t \\ t} [/mm] mit [mm] t\in[1;3] [/mm] (das ist die Parametrisierung der Kurve x=y)
[mm] \gamma_2(t)=\vektor{3 \\ t} [/mm] mit [mm] t\in[\bruch{1}{3};3] [/mm] (das ist die Parametrisierung der Kurve x=3)
[mm] \gamma_3(t)=\vektor{t \\ \bruch{1}{t}} [/mm] mit [mm] t\in[1;3] [/mm] (das ist die Parametrisierung der Kurve xy=1)
Sind die Parametrisierungen richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Sa 28.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{1}^{3}\integral_{1/x}^{x}{(y+\bruch{x^2}{y^2}) dydx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{1}^{3}{[\bruch{1}{2}y^2-\bruch{x^2}{y}]_{1/x}^{x}dx}=\integral_{1}^{3}{\bruch{x^2}{2}-x-\bruch{1}{2x^2}+x^3dx}[/mm]
>
> [mm]=[\bruch{x^3}{6}-\bruch{x^2}{2}+\bruch{1}{2x}+\bruch{x^4}{4}]_{1}^{3}=20[/mm]
>
> So nun ist das Kurvenintegral dran. Ich hätte den Rand von
> der Fläche B so parametrisiert:
>
> [mm]\gamma(t)=\gamma_1(t)+\gamma_2(t)+\gamma_3(t)[/mm]
>
> [mm]\gamma_1(t)=\vektor{t \\ t}[/mm] mit [mm]t\in[1;3][/mm] (das ist die
> Parametrisierung der Kurve x=y)
>
> [mm]\gamma_2(t)=\vektor{3 \\ t}[/mm] mit [mm]t\in[\bruch{1}{3};3][/mm] (das
> ist die Parametrisierung der Kurve x=3)
>
> [mm]\gamma_3(t)=\vektor{t \\ \bruch{1}{t}}[/mm] mit [mm]t\in[1;3][/mm] (das
> ist die Parametrisierung der Kurve xy=1)
>
> Sind die Parametrisierungen richtig?
Ja
FRED
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