Satz von Lagrange und Nebkl. < Kap 1: El. Gruppenth < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:54 Do 14.09.2006 | | Autor: | Riley |
Hi!
...hab einige fragen...
Was bedeutet ord G = ord H * (G:H) (S-17, Korollar 3) genau?
dass die ordnung von H ein Teiler der Ordnung von G ist? oder anderum?
aber warum dann nochmal *H ?
und kann man das so sagen, dass z.B. die Linksnebenklasse aH:={ah;h [mm] \in [/mm] H} ein Element aus G mit allen Elementen von H multipliziert ist? oder wie kann ich mir das am besten vorstellen...??
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> Was bedeutet ord G = ord H * (G:H) (S-17, Korollar 3)
> genau?
>
> dass die ordnung von H ein Teiler der Ordnung von G ist?
> oder anderum?
Ja, das kann so sagen, denke ich.
> aber warum dann nochmal *H ?
Wo steht denn "*H"? Meinst Du den Index (G:H)?
Ein kleines Beispiel für die Anwendung des Satzes von Lagrange:
Eine Gruppe G habe die Elemente [mm] $G=\{g_1,g_2,\ldots,g_15\}$. [/mm] Also [mm] $\operatorname{ord} [/mm] G=15$.
Der Satz von Lagrange sagt dann schon mal, dass G nur Untergruppen der Ordnung 1, 3, 5 und 15 haben kann (übgrigens aber nicht haben muss).
Angenommen, es gibt ein Untergruppe H von G mit den Elementen [mm] $H=\{g_1,g_2,g_3\}$.
[/mm]
Dann kann man ja (Links-) Nebenklassen bilden, und zwar zu jedem [mm] $a\in [/mm] G$ eine [mm] $aH:=\{ah; h\in H\}$
[/mm]
Hier schiebe ich mal Deine zweite Frage zwischen:
> und kann man das so sagen, dass z.B. die Linksnebenklasse
> [mm] $aH:=\{ah;h \in H\}$ [/mm] ein Element aus G mit allen Elementen von
> H multipliziert ist? oder wie kann ich mir das am besten
> vorstellen...??
Ja, genau.
Rein formal haben wir also 15 Nebenklassen:
[mm] $g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}$
[/mm]
[mm] $g_2H=\{g_2g_1,\ g_2g_2,\ g_2g_3\}$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $g_{15}H=\{g_{15}g_1,\ g_{15}g_2,\ g_{15}g_3\}$
[/mm]
Jede diese Nebenklassen hat exakt so viele Elemente wie H, da die Linkstranslation bijektiv ist (siehe Satz 1, Seite 16).
ABER: In dieser Aufzählung tauchen mehrfach identische Mengen auf, z.B. sind schon die ersten drei Nebenklassen
[mm] $g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}$
[/mm]
[mm] $g_2H=\{g_2g_1,\ g_2g_2,\ g_2g_3\}$
[/mm]
[mm] $g_3H=\{g_3g_1,\ g_3g_2,\ g_3g_3\}$
[/mm]
identisch, weil [mm] $g_1,g_2,g_3\in [/mm] H$ und damit $H=g_1H=g_2H=g_3H$.
In diesem Beispiel gilt: Jede (formale) Nebenklasse taucht drei Mal auf in der obigen Aufzählung auf, d.h, es gibt nur 5 verschiedene Nebenklassen. Diese Anzahl ist der Index (G:H)=5
G hat also (G:H)=5 verschiedene Nebenklassen mit jeweils [mm] $\operatorname{ord} [/mm] H=3$ Elementen.
Die Nebenklassen zerlegen die Menge G disjunkt: Jedes Element von G befindet sich in genau einer Nebenklasse, wenn wir also als unsere 5 verschiedene Nebenklassen haben
[mm] $g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}$
[/mm]
[mm] $g_4H=\{g_4g_1,\ g_4g_2,\ g_4g_3\}$
[/mm]
[mm] $g_7H=\{g_7g_1,\ g_7g_2,\ g_7g_3\}$
[/mm]
[mm] $g_{10}H=\{g_{10}g_1,\ g_{10}g_2,\ g_{10}g_3\}$
[/mm]
[mm] $g_{13}H=\{g_{13}g_1,\ g_{13}g_2,\ g_{13}g_3\}$
[/mm]
dann haben wir [mm] $G=g_1H\cup g_4H\cup g_7H\cup g_{10}H\cup g_{13}H$, [/mm] alle 15 Elemente von G befinden sich in genauer einer der obigen 5 Nebenklassen.
Ich hoffe, es ist ein bisschen deutlicher geworden.
Gruß, Frusciante
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Do 14.09.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo ihr beiden!
> > Was bedeutet ord G = ord H * (G:H) (S-17, Korollar 3)
> > genau?
> >
> > dass die ordnung von H ein Teiler der Ordnung von G ist?
> > oder anderum?
>
> Ja, das kann so sagen, denke ich.
>
> > aber warum dann nochmal *H ?
>
> Wo steht denn "*H"? Meinst Du den Index (G:H)?
Vielleicht meinte er "ord H *"? Jedenfalls hatte ich mir mal darüber Gedanken gemacht. Das ist wirklich das uns bekannte "Mal", ja? Also die Multiplikation!? Auch bei einer additiven Gruppe, oder wäre das da dann ein "Plus"?
> Ein kleines Beispiel für die Anwendung des Satzes von
> Lagrange:
>
> Eine Gruppe G habe die Elemente [mm]G=\{g_1,g_2,\ldots,g_15\}[/mm].
> Also [mm]\operatorname{ord} G=15[/mm].
>
> Der Satz von Lagrange sagt dann schon mal, dass G nur
> Untergruppen der Ordnung 1, 3, 5 und 15 haben kann
> (übgrigens aber nicht haben muss).
> Angenommen, es gibt ein Untergruppe H von G mit den
> Elementen [mm]H=\{g_1,g_2,g_3\}[/mm].
>
> Dann kann man ja (Links-) Nebenklassen bilden, und zwar zu
> jedem [mm]a\in G[/mm] eine [mm]aH:=\{ah; h\in H\}[/mm]
> Hier schiebe ich mal
> Deine zweite Frage zwischen:
>
> > und kann man das so sagen, dass z.B. die Linksnebenklasse
> > [mm]aH:=\{ah;h \in H\}[/mm] ein Element aus G mit allen Elementen
> von
> > H multipliziert ist? oder wie kann ich mir das am besten
> > vorstellen...??
>
> Ja, genau.
Aber hier ist es doch auf jeden Fall nicht immer die Multiplikation, oder? Sondern immer die Verknüpfung der Gruppe!?
> Rein formal haben wir also 15 Nebenklassen:
> [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> [mm]g_2H=\{g_2g_1,\ g_2g_2,\ g_2g_3\}[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]g_{15}H=\{g_{15}g_1,\ g_{15}g_2,\ g_{15}g_3\}[/mm]
>
> Jede diese Nebenklassen hat exakt so viele Elemente wie H,
> da die Linkstranslation bijektiv ist (siehe Satz 1, Seite
> 16).
> ABER: In dieser Aufzählung tauchen mehrfach identische
> Mengen auf, z.B. sind schon die ersten drei Nebenklassen
> [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> [mm]g_2H=\{g_2g_1,\ g_2g_2,\ g_2g_3\}[/mm]
>
> [mm]g_3H=\{g_3g_1,\ g_3g_2,\ g_3g_3\}[/mm]
>
> identisch, weil [mm]g_1,g_2,g_3\in H[/mm] und damit
> [mm]H=g_1H=g_2H=g_3H[/mm].
>
> In diesem Beispiel gilt: Jede (formale) Nebenklasse taucht
> drei Mal auf in der obigen Aufzählung auf, d.h, es gibt nur
> 5 verschiedene Nebenklassen. Diese Anzahl ist der Index
> (G:H)=5
>
> G hat also (G:H)=5 verschiedene Nebenklassen mit jeweils
> [mm]\operatorname{ord} H=3[/mm] Elementen.
>
> Die Nebenklassen zerlegen die Menge G disjunkt: Jedes
> Element von G befindet sich in genau einer Nebenklasse,
> wenn wir also als unsere 5 verschiedene Nebenklassen haben
>
> [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> [mm]g_4H=\{g_4g_1,\ g_4g_2,\ g_4g_3\}[/mm]
>
> [mm]g_7H=\{g_7g_1,\ g_7g_2,\ g_7g_3\}[/mm]
> [mm]g_{10}H=\{g_{10}g_1,\ g_{10}g_2,\ g_{10}g_3\}[/mm]
>
> [mm]g_{13}H=\{g_{13}g_1,\ g_{13}g_2,\ g_{13}g_3\}[/mm]
>
> dann haben wir [mm]G=g_1H\cup g_4H\cup g_7H\cup g_{10}H\cup g_{13}H[/mm],
> alle 15 Elemente von G befinden sich in genauer einer der
> obigen 5 Nebenklassen.
Hier verstehe ich nicht so ganz, woher man weiß, dass das wirklich alle Elemente aus G sind. Könnten da nicht welche fehlern? Wahrscheinlich ist hier dann auch $g_4H=g_5H=g_6H$, aber warum? Und warum sind das dann wirklich alle Elemente?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Bastiane!
> > > Was bedeutet ord G = ord H * (G:H) (S-17, Korollar 3)
> > > genau?
> > >
> > > dass die ordnung von H ein Teiler der Ordnung von G ist?
> > > oder anderum?
> >
> > Ja, das kann so sagen, denke ich.
> >
> > > aber warum dann nochmal *H ?
> >
> > Wo steht denn "*H"? Meinst Du den Index (G:H)?
>
> Vielleicht meinte er "ord H *"? Jedenfalls hatte ich mir
> mal darüber Gedanken gemacht. Das ist wirklich das uns
> bekannte "Mal", ja?
Ja, es ist die Multiplikation von natürlichen Zahlen. Es wird doch nur die Anzahl von Objekten miteinander multipliziert, die Anzahl der Elemente von H mit der Anzahl der Nebenklassen.
> Also die Multiplikation!? Auch bei
> einer additiven Gruppe, oder wäre das da dann ein "Plus"?
Nein, die Verknüpfung der Gruppe spielt dabei keine Rolle. Selbst wenn sie additiv geschrieben würde bleibt der Satz von Lagrange unverändert: $\operatorname{G)=\operatorname{H}*(G:H)$
> > Ein kleines Beispiel für die Anwendung des Satzes von
> > Lagrange:
> >
> > Eine Gruppe G habe die Elemente [mm]G=\{g_1,g_2,\ldots,g_15\}[/mm].
> > Also [mm]\operatorname{ord} G=15[/mm].
> >
> > Der Satz von Lagrange sagt dann schon mal, dass G nur
> > Untergruppen der Ordnung 1, 3, 5 und 15 haben kann
> > (übgrigens aber nicht haben muss).
> > Angenommen, es gibt ein Untergruppe H von G mit den
> > Elementen [mm]H=\{g_1,g_2,g_3\}[/mm].
> >
> > Dann kann man ja (Links-) Nebenklassen bilden, und zwar zu
> > jedem [mm]a\in G[/mm] eine [mm]aH:=\{ah; h\in H\}[/mm]
> > Hier schiebe ich
> mal
> > Deine zweite Frage zwischen:
> >
> > > und kann man das so sagen, dass z.B. die Linksnebenklasse
> > > [mm]aH:=\{ah;h \in H\}[/mm] ein Element aus G mit allen Elementen
> > von
> > > H multipliziert ist? oder wie kann ich mir das am besten
> > > vorstellen...??
> >
> > Ja, genau.
>
> Aber hier ist es doch auf jeden Fall nicht immer die
> Multiplikation, oder? Sondern immer die Verknüpfung der
> Gruppe!?
Ja, hier werden ja Gruppenelemente verknüpft. Wenn die Gruppe additiv geschrieben würde, dann müsste die Definition einer Linksnebenklasse lauten:
[mm]a+H:=\{a+h;h \in H\}[/mm]
> > Rein formal haben wir also 15 Nebenklassen:
> > [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> > [mm]g_2H=\{g_2g_1,\ g_2g_2,\ g_2g_3\}[/mm]
>
> >
> > [mm]\vdots[/mm]
> > [mm]g_{15}H=\{g_{15}g_1,\ g_{15}g_2,\ g_{15}g_3\}[/mm]
> >
> > Jede diese Nebenklassen hat exakt so viele Elemente wie H,
> > da die Linkstranslation bijektiv ist (siehe Satz 1, Seite
> > 16).
> > ABER: In dieser Aufzählung tauchen mehrfach identische
> > Mengen auf, z.B. sind schon die ersten drei Nebenklassen
> > [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> > [mm]g_2H=\{g_2g_1,\ g_2g_2,\ g_2g_3\}[/mm]
>
> >
> > [mm]g_3H=\{g_3g_1,\ g_3g_2,\ g_3g_3\}[/mm]
> >
> > identisch, weil [mm]g_1,g_2,g_3\in H[/mm] und damit
> > [mm]H=g_1H=g_2H=g_3H[/mm].
> >
> > In diesem Beispiel gilt: Jede (formale) Nebenklasse taucht
> > drei Mal auf in der obigen Aufzählung auf, d.h, es gibt nur
> > 5 verschiedene Nebenklassen. Diese Anzahl ist der Index
> > (G:H)=5
> >
> > G hat also (G:H)=5 verschiedene Nebenklassen mit jeweils
> > [mm]\operatorname{ord} H=3[/mm] Elementen.
> >
> > Die Nebenklassen zerlegen die Menge G disjunkt: Jedes
> > Element von G befindet sich in genau einer Nebenklasse,
> > wenn wir also als unsere 5 verschiedene Nebenklassen haben
> >
> > [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> > [mm]g_4H=\{g_4g_1,\ g_4g_2,\ g_4g_3\}[/mm]
>
> >
> > [mm]g_7H=\{g_7g_1,\ g_7g_2,\ g_7g_3\}[/mm]
> >
> [mm]g_{10}H=\{g_{10}g_1,\ g_{10}g_2,\ g_{10}g_3\}[/mm]
> >
> > [mm]g_{13}H=\{g_{13}g_1,\ g_{13}g_2,\ g_{13}g_3\}[/mm]
> >
> > dann haben wir [mm]G=g_1H\cup g_4H\cup g_7H\cup g_{10}H\cup g_{13}H[/mm],
> > alle 15 Elemente von G befinden sich in genauer einer der
> > obigen 5 Nebenklassen.
>
> Hier verstehe ich nicht so ganz, woher man weiß, dass das
> wirklich alle Elemente aus G sind. Könnten da nicht welche
> fehlern?
Nein, es kann kein Element fehlen, denn:
Sei [mm] $g\in [/mm] G$
[mm] $\Rightarrow\ g=g*\underbrace{1}_{1\in H}\in [/mm] g*H$
Das Element g ist also auf jeden Fall in einer Linksnebenklasse enthalten, nämlich in der Linksnebenklasse gH.
Da g beliebig war, ist wirklich jedes Element von G in einer der Linksnebenklassen von H.
> Wahrscheinlich ist hier dann auch [mm]g_4H=g_5H=g_6H[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
,
> aber warum?
Das kann man natürlich nicht so einfach schließen, es könnte auch $g_4H=g_8H$ sein, das hängt von der Verknüpfung der Gruppe ab.
In meinem Beispiel kann man eigentlich nur sagen, dass $g_1H=g_2H=g_3H=H$ ist, denn H ist von mir ja gerade mit diesen Elementen $H=\{g_1,g_2,g_3\}$ gewählt worden.
Wir wissen also schon, dass $g_1H=g_2H=g_3H$.
Dann wissen wir, dass es noch vier weitere verschiedene Linksnebenklassen geben muss, ich habe da oBdA  die Repräsentanten einfach $g_4$, $g_7$, $g_{10}$ und $g_{13}$ benannt. Im Allgemeinen habe ich damit tatsächlich eine Umnummerierung der Elemente vornehmen müssen, das stimmt.
Vielleicht konkretisiere ich mein Beispiel noch etwas:
$G=\{g_1,\ldots,g_{15}$, $H=\{g_1,g_2,g_3\}$ wie gehabt.
Dann haben wir schon mal die Linksnebenklasse
1. $g_1H=g_2H=g_3H$
Wie wissen nun, dass es vier weitere Linksnebenklassen geben muss, etwa (das hängt jetzt von der Verknüpfung der Gruppe G ab, die ich nicht konkretisiert habe)
2. $g_4H=g_7H=g_{13}H$
3. $g_5H=g_6H=g_{12}H$
4. $g_8H=g_{11}H=g_{15}H$
5. $g_9H=g_{10}H=g_{14}H$
Es gibt dann also die 5 disjunkten Linksnebenklassen $g_1H, g_4H, g_5H, g_8H, g_9H$
> Und warum sind das dann wirklich alle
> Elemente?
Das wird doch jetzt mit meinem konkretisierten Beispiel deutlich:
H ist eine Gruppe, also enthält sie das neutrale Element. Unter den drei Elementen $g_1,g_2,g_3$ muss also das neutrale Element zu finden sein, der Einfachheit halber sei es $g_1$.
Es ist dann doch klar, dass
$g_1,g_2,g_3\in g_1H$
$g_4,g_7,g_{13}\in g_4H$
$g_5,g_6,g_{12}\in g_5H$
$g_8,g_{11},g_{15}\in g_8H$
$g_9,g_{10},g_{14}\in g_9H$
oder anders geschrieben:
$g_1H=\{g_1,g_2,g_3\} $
$g_4H=\{g_4,g_7,g_{13}\}$
$g_5H=\{g_5,g_6,g_{12}\}$
$g_8H=\{g_8,g_{11},g_{15}\}$
$g_9H=\{g_9,g_{10},g_{14}\}$
und damit
$G=g_1H\stackrel{*}{\cup}g_4H\stackrel{*}{\cup}g_5H\stackrel{*}{\cup}g_8H\stackrel{*}{\cup}g_9H$
($\stackrel{*}{\cup}$ heißt "Vereinigung disjunkter/elementefremder Mengen")
Gruß, Frusciante
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Do 14.09.2006 | | Autor: | Docy |
Hallo Frusciante,
ich hätte da auch noch ne kleine Frage:
> ABER: In dieser Aufzählung tauchen mehrfach identische
> Mengen auf, z.B. sind schon die ersten drei Nebenklassen
> [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> [mm]g_2H=\{g_2g_1,\ g_2g_2,\ g_2g_3\}[/mm]
>
> [mm]g_3H=\{g_3g_1,\ g_3g_2,\ g_3g_3\}[/mm]
>
> identisch, weil [mm]g_1,g_2,g_3\in H[/mm] und damit
> [mm]H=g_1H=g_2H=g_3H[/mm].
soweit klar.
> In diesem Beispiel gilt: Jede (formale) Nebenklasse taucht
> drei Mal auf in der obigen Aufzählung auf, d.h, es gibt nur
> 5 verschiedene Nebenklassen. Diese Anzahl ist der Index
> (G:H)=5
>
> G hat also (G:H)=5 verschiedene Nebenklassen mit jeweils
> [mm]\operatorname{ord} H=3[/mm] Elementen.
>
> Die Nebenklassen zerlegen die Menge G disjunkt: Jedes
> Element von G befindet sich in genau einer Nebenklasse,
> wenn wir also als unsere 5 verschiedene Nebenklassen haben
>
> [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> [mm]g_4H=\{g_4g_1,\ g_4g_2,\ g_4g_3\}[/mm]
>
> [mm]g_7H=\{g_7g_1,\ g_7g_2,\ g_7g_3\}[/mm]
> [mm]g_{10}H=\{g_{10}g_1,\ g_{10}g_2,\ g_{10}g_3\}[/mm]
>
> [mm]g_{13}H=\{g_{13}g_1,\ g_{13}g_2,\ g_{13}g_3\}[/mm]
>
> dann haben wir [mm]G=g_1H\cup g_4H\cup g_7H\cup g_{10}H\cup g_{13}H[/mm],
> alle 15 Elemente von G befinden sich in genauer einer der
> obigen 5 Nebenklassen.
Wie kommst du auf diese 5 Nebenklassen? Was ist z. B. mit
[mm] g_5H=\{g_5g_1,\ g_5g_2,\ g_5g_3\} [/mm] ? Wieso gehört diese Nebenklasse nicht dazu?
Gruß
Docy
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Hallo Docy!
> > G hat also (G:H)=5 verschiedene Nebenklassen mit jeweils
> > [mm]\operatorname{ord} H=3[/mm] Elementen.
> >
> > Die Nebenklassen zerlegen die Menge G disjunkt: Jedes
> > Element von G befindet sich in genau einer Nebenklasse,
> > wenn wir also als unsere 5 verschiedene Nebenklassen haben
> >
> > [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> > [mm]g_4H=\{g_4g_1,\ g_4g_2,\ g_4g_3\}[/mm]
>
> >
> > [mm]g_7H=\{g_7g_1,\ g_7g_2,\ g_7g_3\}[/mm]
> >
> [mm]g_{10}H=\{g_{10}g_1,\ g_{10}g_2,\ g_{10}g_3\}[/mm]
> >
> > [mm]g_{13}H=\{g_{13}g_1,\ g_{13}g_2,\ g_{13}g_3\}[/mm]
> >
> > dann haben wir [mm]G=g_1H\cup g_4H\cup g_7H\cup g_{10}H\cup g_{13}H[/mm],
> > alle 15 Elemente von G befinden sich in genauer einer der
> > obigen 5 Nebenklassen.
>
> Wie kommst du auf diese 5 Nebenklassen? Was ist z. B. mit
> [mm]g_5H=\{g_5g_1,\ g_5g_2,\ g_5g_3\}[/mm] ? Wieso gehört diese
> Nebenklasse nicht dazu?
Ich habe das eben bei meiner Antwort auf Bastianes Frage etwas deutlicher dargestellt, schaue da doch auch noch mal rein.
Deine Frage ist berechtigt, was mit $g_5H$ ist.
Wenn man --wie ich-- die fünf Nebenklassen mit
$g_1H, g_4H, g_7H, [mm] g_{10}H, g_{13}H$ [/mm]
angibt/angeben kann, dann muss die Nebenklasse $g_5H$ mit einer der oben angegebenen Nebenklassen identisch sein.
Aus meiner Antwort auf Bastiane ist aber nun hoffentlich deutlicher geworden, dass es wirklich eine Annahme von mir ist, dass die fünf Nebenklassen wirklich die Repräsentanten [mm] $g_1,g_4,g_7,g_{10},g_{13}$ [/mm] haben. Dies ist keineswegs im Allgemeinen so, denn es könnte ja bei einer konkreten Gruppe sein, dass [mm] $g_7\in [/mm] g_4H$, dann wäre $g_4H=g_7H$ und ich müsste andere Repräsentanten wählen.
Ich kann aber oBdA annehmen, dass [mm] $g_1,g_4,g_7,g_{10},g_{13}$ [/mm] die Repäsentanten zu den fünf verschiedenen Nebenklassen sind, denn falls sie es nicht sind, müssen die Elemente der Gruppe G nur umnummeriert werden.
Gruß, Frusciante
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Do 14.09.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal, Frusciante! 
Ich habe deine Antwort durchgelesen und glaube ich auch verstanden - vielen Dank, du machst dir ja viel Mühe. ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Ich habe aber leider immer noch eine Frage:
> Eine Gruppe G habe die Elemente [mm]G=\{g_1,g_2,\ldots,g_15\}[/mm].
> Also [mm]\operatorname{ord} G=15[/mm].
>
> Der Satz von Lagrange sagt dann schon mal, dass G nur
> Untergruppen der Ordnung 1, 3, 5 und 15 haben kann
> (übgrigens aber nicht haben muss).
> Angenommen, es gibt ein Untergruppe H von G mit den
> Elementen [mm]H=\{g_1,g_2,g_3\}[/mm].
>
> Dann kann man ja (Links-) Nebenklassen bilden, und zwar zu
> jedem [mm]a\in G[/mm] eine [mm]aH:=\{ah; h\in H\}[/mm]
> Rein formal haben wir also 15 Nebenklassen:
> [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> [mm]g_2H=\{g_2g_1,\ g_2g_2,\ g_2g_3\}[/mm]
>
> [mm]\vdots[/mm]
> [mm]g_{15}H=\{g_{15}g_1,\ g_{15}g_2,\ g_{15}g_3\}[/mm]
>
> Jede diese Nebenklassen hat exakt so viele Elemente wie H,
> da die Linkstranslation bijektiv ist (siehe Satz 1, Seite
> 16).
> ABER: In dieser Aufzählung tauchen mehrfach identische
> Mengen auf, z.B. sind schon die ersten drei Nebenklassen
> [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> [mm]g_2H=\{g_2g_1,\ g_2g_2,\ g_2g_3\}[/mm]
>
> [mm]g_3H=\{g_3g_1,\ g_3g_2,\ g_3g_3\}[/mm]
>
> identisch, weil [mm]g_1,g_2,g_3\in H[/mm] und damit
> [mm]H=g_1H=g_2H=g_3H[/mm].
>
> In diesem Beispiel gilt: Jede (formale) Nebenklasse taucht
> drei Mal auf in der obigen Aufzählung auf, d.h, es gibt nur
> 5 verschiedene Nebenklassen. Diese Anzahl ist der Index
> (G:H)=5
Dass es jetzt genau 5 verschiedene Nebenklassen sein müssen, folgt einfach nur aus dem Satz von Lagrange, ja? Wenn H fünf Elemente enthielte, folgte aus dem Satz, dass es nur drei verschiedene Nebenklassen wären. Ok.
Warum muss dann aber jede Nebenklasse quasi dreimal auftauchen? Könnte es nicht sein, dass eine Nebenklasse elfmal auftaucht und dafür alle anderen nur einmal? Oder eine beliebige andere Kombination?
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Bastiante
> Ich habe deine Antwort durchgelesen und glaube ich auch
> verstanden - vielen Dank, du machst dir ja viel Mühe.
>
Danke, aber unter den Augen von Felix und Dieter kann ich ja auch sicher sein, dass ich es richtig verstanden habe
> > Jede diese Nebenklassen hat exakt so viele Elemente wie H,
> > da die Linkstranslation bijektiv ist (siehe Satz 1, Seite
> > 16).
> > ABER: In dieser Aufzählung tauchen mehrfach identische
> > Mengen auf, z.B. sind schon die ersten drei Nebenklassen
> > [mm]g_1H=\{g_1g_1,\ g_1g_2,\ g_1g_3\}[/mm]
> > [mm]g_2H=\{g_2g_1,\ g_2g_2,\ g_2g_3\}[/mm]
>
> >
> > [mm]g_3H=\{g_3g_1,\ g_3g_2,\ g_3g_3\}[/mm]
> >
> > identisch, weil [mm]g_1,g_2,g_3\in H[/mm] und damit
> > [mm]H=g_1H=g_2H=g_3H[/mm].
> >
> > In diesem Beispiel gilt: Jede (formale) Nebenklasse taucht
> > drei Mal auf in der obigen Aufzählung auf, d.h, es gibt nur
> > 5 verschiedene Nebenklassen. Diese Anzahl ist der Index
> > (G:H)=5
>
> Dass es jetzt genau 5 verschiedene Nebenklassen sein
> müssen, folgt einfach nur aus dem Satz von Lagrange, ja?
Daraus auch, aber wir können es nun auch ohne Hinzunahme des Satzes beweisen, denn wir wissen:
1.) Alle 15 Elemente aus G befinden sich in genau einer Nebenklasse.
2.) Die Nebenklassen sind alle disjunkt.
3.) Jede Nebenklasse hat genauso viele Elemente wie H, also 3.
Ergo: Es muss 5 Nebenklassen geben.
> Wenn H fünf Elemente enthielte, folgte aus dem Satz, dass
> es nur drei verschiedene Nebenklassen wären. Ok.
> Warum muss dann aber jede Nebenklasse quasi dreimal
> auftauchen? Könnte es nicht sein, dass eine Nebenklasse
> elfmal auftaucht und dafür alle anderen nur einmal? Oder
> eine beliebige andere Kombination?
Nein, das kann nicht sein. In der formalen Auflistung taucht jede Nebenklasse genauso oft auf, wie eine Nebenklasse Elemente hat.
Gegenfrage: Siehst Du denn ein, dass jede Nebenklasse dieselbe Anzahl Elemente, nämlich [mm] $\operatorname{ord}H$, [/mm] besitzt?
Dann greifen wir mal eine Nebenklasse heraus, sagen wir [mm] $g_4H=\{g_4,g_7,g_8,g_{11},g_{13}\}$
[/mm]
Da [mm] $g_4,g_7,g_8,g_{11},g_{13}\in [/mm] g_hH$, sind doch schon mal identisch:
[mm] $g_4H=g_7H=g_8=Hg_{11}H=g_{13}H$
[/mm]
In meiner formalen Auflistung taucht also die Nebenklasse $g_4H$ mindestens fünf Mal als identische Menge auf.
Angenommen, sie taucht sechs Mal auf, sagen wir auch
$g_2H=g_4H$
Dies ist ein Widerspruch, denn wäre doch auch [mm] $g_2\in [/mm] g_4H$ wegen [mm] $g_2=g_2*\underbrace{1}_{\in H}\in [/mm] g_2H=g_4H$
Also taucht $g_4H$ genau fünf Mal in meiner Auflistung auf.
Gruß, Frusciante
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