Satz von Lebesgue < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:56 Fr 29.11.2013 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | | Zeigen Sie für [mm] $t\in\mathbb{R}$: \frac{d}{dt}\int_\mathbb{R}e^{-x^4+tx^2}dx=\int_\mathbb{R}x^2e^{-x^4+tx^2}dx [/mm] |
Hi,
Sei [mm] $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, f(x,t)=e^{-x^4+tx^2}$
[/mm]
Um den Satz von Lebesgue zur Vertauschung von Integral und Ableitung anzuwenden müssen folgende Voraussetzungen geprüft werden:
$(i)$ Die Abbildung $f$ ist in $t$ differenzierbar
$(ii)$ Die partielle Ableitung von $f$ nach $t$ ist durch eine Lebesgue-integrierbare Funktion in $x$ beschränkt.
$(iii)$ Die Abbildung $f$ ist in $x$ Lebesgue-integrierbar.
Für $(i)$ hab ich bisher:
[mm] $\lim_{h\to 0}\frac{|f(x,t+h)-f(x,t)|}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{-x^4+(t+h)x^2}-e^{-x^4+tx^2}}{h}\underbrace{=}_{\text{l'Hospital}}\lim_{h\to 0}\frac{x^2e^{-x^4(t+h)x^2}}{1}=x^2e^{-x^4+tx^2}$ [/mm] Damit ist $f$ in $t$ partiell stetig differenzierbar und damit differenzierbar in $t$.
Bei $(ii)$ tu ich mir noch etwas schwer: Gesucht ist [mm] $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\int_{\mathbb{R}}g(x)<\infty$, [/mm] sodass für alle [mm] $t\in\mathbb{R}$ [/mm] gilt [mm] $|\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)|\leq [/mm] g(x)$. Das Problem ist für mich, dass $f$ in $t$ steigt. Insbesondere ist [mm] $\sup_{t\in\mathbb{R}}x^2e^{-x^4+tx^2}=\infty$. [/mm]
Bin sehr dankbar für jede Hilfe.
Beste Grüße,
nbt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Mo 02.12.2013 | | Autor: | nbt |
Bin immer noch an einem Tipp interessiert ;)
lg,
nbt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mi 04.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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