Satz von Liouville < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Di 22.11.2005 | | Autor: | kunzm |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo nochmal,
ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen und komme nicht ganz durch. Abgesehen davon hab ich das nur hier gepostet. (Wie wichtig ist dieser Satz eigentlich wirklich?)
Aufgabe:
Beweisen Sie, dass das Bild einer ganzen Funktion, welche nicht konstant ist, dicht ist in C.
Also ich habe zuerst gesagt, dass man jede holomorphe Funktion zumindest lokal in eine Potenzreihe schreiben kann (Entwicklungslemma). Damit gilt dann der Fundamentalsatz der Algebra, der mich jetzt nicht wirklich weiterbringt. Ich habe einen Beweis des Satzes von Liouville mittels der Standardabschäzung gefunden und den Hinweis, dass hieraus direkt folgt f(..) dicht in C falls f nicht konstant. Ich kann das aber weder aus dem Fundamentalsatz noch aus dem Beweis extrahieren, bin ich blind?
Hier noch der Beweis:
Sei [mm] f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C} [/mm] durch c [mm] \in \R [/mm] beschränkt, dann gilt
[mm] \left| f'(z) \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_r(z)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-z\right)^2}\mathrm{d}\zeta \right| \leq \frac{1}{2\pi}\cdot 2\pi r\cdot\frac{c}{r^2} \rightarrow [/mm] 0 [mm] \left(r\rightarrow\infty\right),
[/mm]
und weil [mm] \mathbb{C} [/mm] zusammenhängend ist, folgt die Behauptung.
Danke für die Aufmerksamkeit, Martin
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Nehmen wir an, [mm]f[/mm] ist eine nicht konstante ganze Funktion. Wenn das Bild von f nicht dicht in [mm]\mathbb{C}[/mm] läge, dann existierte ein [mm]a \in \mathbb{C}[/mm] mit einer [mm]f[/mm]-Bilder-freien Umgebung. Das heißt, es gäbe ein [mm]M>0[/mm] mit
[mm]\left| f(z) - a \right| \geq \frac{1}{M}[/mm] für alle [mm]z \in \mathbb{C}[/mm]
Jetzt weise nach, daß dann [mm]g[/mm] mit
[mm]g(z) = \frac{1}{f(z)-a}[/mm]
eine beschränkte ganze Funktion wäre. Der Satz von Liouville liefert dann für [mm]f[/mm] einen Widerspruch zur Voraussetzung.
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