Satz von Liouville < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Do 05.05.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, wir hatten gerade die Mittelwerteigenschaft von harmonischen Funktionen und jetzt sollen wir den Satz von Liouville beweisen:
"Jede auf ganz [mm] \IR^n [/mm] harmonische und beschränkte Funktion ist konstant."
Dazu haben wir eine ziemlich lange "Anleitung" bekkommen, aber irgendwie werde ich daraus nicht schlau:
ANLEITUNG:
Sei u eine solche Funktion.
Fixiere [mm] x\in \IR^n [/mm] und setze r=||x||.
Vergleichen Sie u(x) mit u(0), indem Sie die Mittelwerteigenschaft von u für Kugeln [mm] K_R(x) [/mm] und [mm] K_R(0) [/mm] mit (großem) Radius R ausnutzen.
Betrachten Sie dabei die Integrale von u über [mm] K_R(x)\backslash K_R(0) [/mm] und [mm] K_R(0)\backslash K_R(x) [/mm] und nutzen Sie die Beschränktheit von u und (für R>r) die Inklusionen
[mm] K_R(x)\backslash K_R(0)\subseteq K_R(x)\backslash K_{R-r}(x) [/mm] und [mm] K_R(0)\backslash K_R(x)\subseteq K_R(0)\backslash K_{R-r}(0), [/mm] um |u(x)-u(0)| nach oben abzuschätzen. |
Ich verstehe diese Anleitung nicht.
Wer kann mir bitte helfen, den Satz damit zu beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Fr 06.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, wir hatten gerade die Mittelwerteigenschaft von
> harmonischen Funktionen und jetzt sollen wir den Satz von
> Liouville beweisen:
>
> "Jede auf ganz [mm]\IR^n[/mm] harmonische und beschränkte Funktion
> ist konstant."
>
> Dazu haben wir eine ziemlich lange "Anleitung" bekkommen,
> aber irgendwie werde ich daraus nicht schlau:
>
> ANLEITUNG:
> Sei u eine solche Funktion.
> Fixiere [mm]x\in \IR^n[/mm] und setze r=||x||.
> Vergleichen Sie u(x) mit u(0), indem Sie die
> Mittelwerteigenschaft von u für Kugeln [mm]K_R(x)[/mm] und [mm]K_R(0)[/mm]
> mit (großem) Radius R ausnutzen.
> Betrachten Sie dabei die Integrale von u über
> [mm]K_R(x)\backslash K_R(0)[/mm] und [mm]K_R(0)\backslash K_R(x)[/mm] und
> nutzen Sie die Beschränktheit von u und (für R>r) die
> Inklusionen
> [mm]K_R(x)\backslash K_R(0)\subseteq K_R(x)\backslash K_{R-r}(x)[/mm]
> und [mm]K_R(0)\backslash K_R(x)\subseteq K_R(0)\backslash K_{R-r}(0),[/mm]
> um |u(x)-u(0)| nach oben abzuschätzen.
> Ich verstehe diese Anleitung nicht.
> Wer kann mir bitte helfen, den Satz damit zu beweisen?
Schau mal da rein:
http://www.iam.uni-bonn.de/~alt/ss2002/HTML/analysis4-hyp_65.html
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:30 Fr 06.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich habe den Link angeguckt, aber der Beweis ist glaube ich zu schwer bzw. ich kenne da ganbz viele Begriffe nicht von bzw. die hatten wir noch gar nicht.
Ich erkenne auch die Anleitung darin leider nicht wieder.
Kann ich das nicht lieber nach obiger Anleitung (unter Hilfe) beweisen? Vielleicht hilft mir ja jemand.
[Oder IST der Beweis im Link das, was ich machen soll und ich erkenne es nur nicht?`]
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(Frage) überfällig | | Datum: | 22:45 Fr 06.05.2011 | | Autor: | mikexx |
Kann jemand die Anleitung mit mir durchgehen?
1.) Sei u eine solche Funktion.
2.) Fixiere [mm] x\in \IR^n.
[/mm]
3.) Setze r=||x||
4.) So - und nun?
|u(x)-u(0)|=...
Ab hier ist mir die Anleitung unklar und ich verstehe nicht, wies weiter geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Sa 07.05.2011 | | Autor: | mikexx |
So hab ich mir das gedacht:
[mm] |u(x)-u(0)|=|\bruch{1}{\omega_n\cdot R^n} \integral_{K_R(x)} u(y)dy-\bruch{1}{\omega_n\cdot R^n} \integral_{K_R(0)} u(y)dy|=
\bruch{1}{\omega_n \cdot R^n}\cdot |\integral_{K_R(x)} u(y)dy-\integral_{K_R(0)} u(y)dy|=
\bruch{1}{\omega_n \cdot R^n}\cdot |\integral_{K_R(x)\backslash K_R(0)} u(y)dy-\integral_{K_R(0)\backslash K_R(x)} u(y)dy|\leq \bruch{1}{\omega_n r^n}\cdot |\integral_{K_R(x)\backslash K_{R-r}(x)} u(y)dy-\integral_{K_R(0)\backslash K_{R-r}(0)} u(y)dy=\bruch{1}{\omega_n\cdot r^n} \cdot |\integral_{K_r(x)} u(y)dy-\integral_{K_r(0)} u(y)dy|\leq \bruch{1}{\omega_n r^n} |\integral_{K_r(x)\backslash K_r(0)} M dy|\to 0[/mm] für [mm] r^n=||x||^n\to \infty
[/mm]
Wobei M die obere Grenze von u ist (u ist beschränkt).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 So 24.07.2011 | | Autor: | dennis2 |
Der Anfang der Idee stimmt.
[Bis zu dem [mm] \leq [/mm] .]
Danach ist es dann konfus und falsch.
Wenn Du willst & noch Interesse hast, führe ich das noch aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 24.07.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Ja, gerne! Kannst Du das bitte ausführen??
Es ist eine Ewigkeit her, aber die Lösung interessiert mich immer noch. |
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 24.07.2011 | | Autor: | dennis2 |
Okay, dann mache ich das mal!
Du solltest Dir immer passende Bildchen malen!
Mit denen kann man alles viel besser nachvollziehen.
Wenn Du dann doch noch möchtest, kann ich Dir auch die Bildchen aufmalen und zusenden. Aber ich denke, das bekommst Du selbst hin.
Beweis:
Sei [mm]\theta:=\frac{1}{R^n\omega_n}[/mm]
[mm]\vert u(x)-u(0)\vert = \vert \theta \int_{K(x,R)}u(z)dz-\theta \int_{K(0,R)}u(z)dz\vert[/mm]
[mm] = \vert \theta\int_{K(x,R)\backslash K(0,R)}u(z)dz-\theta\int_{K(0,R)\backslash K(x,R)}u(z)dz\vert [/mm]
[mm]\leq \vert\theta\int_{K(x,R)\backslash K(x,R-r)}u(z)dz-\theta\int_{K(0,R)\backslash K(0,R-r)}u(z)dz\vert [/mm]
[Eine Skizze verdeutlicht die Inklusionen.]
[mm]\leq \vert\theta\int_{K(x,R)\backslash K(x,R-r)}M dz-\theta\int_{K(0,R)\backslash K(0,R-r)}M dz\vert[/mm]
[Die Funktion ist ja auf ganz [mm]\IR^n[/mm] beschränkt.]
[mm] = \frac{M}{R^n\omega_n}\vert\int_{K(x,R)\backslash K(x,R-r)}1 dz-\int_{K(0,R)\backslash K(0,R-r)}1 dz\vert [/mm]
Wenn man sich nun ein Bildchen malt, sieht man, daß der Ausdruck in den Betragsstrichen identisch ist mit [mm]2\cdot (vol_n(K_R)-vol_n(K_{R-r}))[/mm].
Dann gehts also weiter mit:
[mm] = \frac{2M}{R^n\omega_n}(vol_n(K_R)-vol_n(K_{R-r}))[/mm]
[mm] = 2M-\frac{2M\cdot vol_n(K_{R-r})}{vol_n(K_R)}[/mm]
[mm] = 2M\cdot\left(1-\frac{vol_n(K_{R-r})}{vol_n(K_R)}\right)\underbrace{\longrightarrow}_{R\to \infty} 0[/mm]
Daraus folgt die Behauptung.
q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 So 24.07.2011 | | Autor: | mikexx |
Vielen, vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 So 08.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 So 08.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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