Satz von Morera < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Mi 22.08.2007 | | Autor: | tb1804 |
| Aufgabe | Es ist f [mm] \in O(\IC/\{-1,1\}) [/mm] (:= Menge der holomorphen Funktionen auf [mm] \IC [/mm] ohne {-1,1}) eine holomorphe Funktion. Zeigen Sie, dass f auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph ist.
(Hinweis: Satz von Morera)
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Hallo zusammen.
Das ist die Aufgabe, wie sie in der letzten Staatsexamensklausur vorkamen. Und das ohne jegliche Vorbereitung. Trotz Kenntnis des Satzes von Morera, fehlt mir jeglicher Ansatz.
Bin auf Eure Hilfe angewiesen und jetzt schon sehhhr dankbar!
Tom
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es ist f [mm]\in O(\IC/\{-1,1\})[/mm] (:= Menge der holomorphen
> Funktionen auf [mm]\IC[/mm] ohne {-1,1}) eine holomorphe Funktion.
> Zeigen Sie, dass f auf ganz [mm]\IC[/mm] holomorph ist.
> (Hinweis: Satz von Morera)
>
> Hallo zusammen.
>
> Das ist die Aufgabe, wie sie in der letzten
> Staatsexamensklausur vorkamen. Und das ohne jegliche
> Vorbereitung. Trotz Kenntnis des Satzes von Morera, fehlt
> mir jeglicher Ansatz.
Ich kann gar nicht glauben, dass diese Aussage wahr ist. Betrachte etwa das triviale Gegenbeispiel $f(z) := [mm] \frac{1}{(z+1)(z-1)}$. [/mm] Diese Funktion ist doch auf [mm] $\IC\backslash\{-1;+1\}$ [/mm] holomorph: aber wie will man $f$ auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] holomorph fortsetzen können? $f$ lässt sich ja noch nicht einmal stetig auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] fortsetzen, geschweige denn holomorph...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:02 Do 23.08.2007 | | Autor: | tb1804 |
Ja, das hört sich sinnvoll an.
Da es aber eine Aufgabe im Examen war, glaube ich nicht, dass sie "falsch" gestellt ist. Da der Prof. sogar den Hinweis auf den Satz von Morera gibt, denke ich, dass man das mit ihm auch zeigen kann.
Habe mir gestern Abend noch Folgendes gedacht.
In Bezug auf den Satz von Morera müssen wir folgende Fälle betrachten:
a) Die Punkte -1 und +1 liegen im Dreieck.
b) Ein Punkt liegt im Dreieck.
c) Ein bzw beide Punkte liegen auf dem Rand eines Dreiecks.
Im Falle c sollte sich der Wert des Randintegrals des Dreiecks nicht ändern, da wir die Integrale aufsplitten können in das Integral über den Rand ohne die Punkte und das Inegral über die Punkte. Zweiteres ist ein Inegral über eine Nullmende und daher 0!???
Oder denk ich da falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Do 23.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hi!
> Ja, das hört sich sinnvoll an.
> Da es aber eine Aufgabe im Examen war, glaube ich nicht,
> dass sie "falsch" gestellt ist. Da der Prof. sogar den
> Hinweis auf den Satz von Morera gibt, denke ich, dass man
> das mit ihm auch zeigen kann.
Nein, denn Somebody hat ein Gegenbeispiel genannt, die Aussage ist also falsch.
Vielleicht fehlt ja was. Setzt der Satz von Morera nicht Stetigkeit voraus? Davon steht in der Aufgabe nichts.
> Habe mir gestern Abend noch Folgendes gedacht.
>
> In Bezug auf den Satz von Morera müssen wir folgende Fälle
> betrachten:
> a) Die Punkte -1 und +1 liegen im Dreieck.
> b) Ein Punkt liegt im Dreieck.
> c) Ein bzw beide Punkte liegen auf dem Rand eines Dreiecks.
Existiert für die Funktion [mm]f(z) = \bruch{1}{(z-1)(z+1)}[/mm] das Integral, wenn +1 oder -1 auf dem Dreiecksrand liegen?
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Mo 27.08.2007 | | Autor: | deibansi |
Es fehlt offensichtlich eine weitere Voraussetzung, damit die Aussage stimmt, vermutlich:
Res(f;-1) = Res(f;1) = 0.
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Was meint ihr zu der zusätzlichen Information, macht das nun Sinn?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Do 30.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hi,
> Was meint ihr zu der zusätzlichen Information, macht das
> nun Sinn?
Ich denke nicht, denn die Funktion
[mm]f(z) = \bruch{1}{(z-1)^2} + \bruch{1}{(z+1)^2}[/mm] ist nicht in ganz [mm]\IC[/mm] holomorph, die Residuen bei +1 und -1 sind aber beide 0.
Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Di 28.08.2007 | | Autor: | tb1804 |
Hallo zusammen,
in der Zwischenzeit ist auch der Grund für den Fehler in der Aufgabenstellung bekannt: die Aufgabe wurde falsch übermittelt.
Natürlich wird Stetigkeit vorausgesetzt. Ferner werden nicht nur die beiden Punkte rausgenommen, sondern das Intervall [-1,1].
Damit sollte dann die Lösung mit dem Satz von Morera eigentlich schon auf der Hand liegen.
Danke nochmal für Eure Bemühungen!
TB
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