Satz von Schwarz < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Di 22.11.2011 | | Autor: | Blubie |
Hallo, der Satz von Schwarz gilt ja nur, wenn die Funktion "k-mal stetig differenzierbar ist". Was heißt hier k-mal? Wenn ich Beispiele zu dem Satz lese, dann zeigt man immer dass [mm] f_{xy} [/mm] und [mm] f_{yx} [/mm] existieren und stetig sind aber schließt k-mal differenzierbar (bspw. für k=2) nicht auch ein, dass [mm] f_{xx} [/mm] und [mm] f_{yy} [/mm] in dem gegebenen punkt existieren müssen und stetig sein müssen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei k [mm] \in \IN. [/mm] Ist D [mm] \subseteq \IR^n [/mm] und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion, so heißt f auf D k-mal stetig differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen von f der Ordnung [mm] \le [/mm] k auf D vorhanden sind und auf D stetig sind.
Beispiel: D [mm] \subseteq \IR^2.
[/mm]
f ist auf D 2 -mal stetig diff.-bar [mm] \gdw [/mm] die folgenden Ableitungen sind auf D vorhanden und auf D stetig:
[mm] f_x,f_y, f_{xx}, f_{xy}, f_{yx}, f_{yy}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Di 22.11.2011 | | Autor: | Blubie |
Super, das habe ich irgendwie nirgends gefunden :) Also wenn ich zeige, dass [mm] f_{x} [/mm] im Punkt a nicht stetig ist, so ist die Voraussetzung für den Satz von Schwarz schon verletzt, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 22.11.2011 | | Autor: | Blubie |
Noch eine blöde Frage: Deine Aussage sagt nichts darüber, dass f selbst in dem Punkt stetig sein muss. Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Di 22.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Noch eine blöde Frage: Deine Aussage sagt nichts darüber,
> dass f selbst in dem Punkt stetig sein muss. Stimmt das?
Es gilt folgender Satz:
Sei D [mm] \subset \IR^n [/mm] offen und f:D [mm] \to \IR [/mm] sei auf D partiell db und alle partiellen Ableitungen erster Ordnung von f seien auf D stetig (f sei also auf D stetig differenzierbar).
Dann ist f auf D differenzierbar ( insbesondere auf D stetig).
FRED
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