Satz von Stokes? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die halbe Mantelfläche F eines Zylinders, definiert durch
F = {(x, y, z) ∈ [mm] R^3 [/mm] : [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4 , 0 ≤ z ≤ 1, y ≤ 0}. Berechnen Sie für das Vektorfeld A : [mm] R^3 \to R^3 [/mm] mit A(x, y, z) = (x(2 − z), [mm] y^4, [/mm] 2(x − [mm] 2)z^2) [/mm] das Wegintegral [mm] \integral_{\partial F}^{}{A ds} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ups.. hatte ich erst falsch kopiert... sorry...
Und hier kommt schon meine nächste Frage:
ich nehme an ich muss oben genanntes Problem mittels des Satzes von Stokes lösen.
also [mm] \integral_{\partial F}^{}{A ds} [/mm] = [mm] \integral_{ F}^{}{rot(A)*n ds}
[/mm]
hierzu habe ich zunächst die Rotation bestimmt: rot(A)= [mm] \vektor{0 \\ -x-2z^2\\ 0}
[/mm]
Anschließend habe ich die Parametrisierung des Halbzylinders vorgenommen. Der Radius beträgt 2 (siehe aufgabenstellung) also:
[mm] \gamma [/mm] = [mm] \vektor{ 2*cos(\phi) \\ 2*sin(\phi) \\ z}
[/mm]
anschließend habe ich die Parametrisierung nach [mm] \phi [/mm] und z abgeleitet und das Kreuzprodukt gebildet
[mm] \vektor{-2sin(\phi) \\ 2cos(\phi) \\ 0} \times \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2cos(\phi) \\ 2sin(\phi) \\ 0}
[/mm]
für die Grenzen wähle ich: z [0,1] , [mm] \phi [/mm] [mm] [\pi [/mm] , 2 [mm] \pi [/mm] ] ( unterer halbkreis)
nun setze ich das in die Gleichung für das Integral ein und erhalte:
[mm] \integral_{\partial F}^{}{A ds} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{\pi}^{2 \pi} \vektor{0 \\ -2cos( \phi) -2z^2 \\ 0 } [/mm] * [mm] \vektor{2cos( \phi) \\ 2sin(\phi) \\ 0} [/mm] dz [mm] d\phi= \integral_{0}^{1} \integral_{\pi}^{2 \pi} -4cos(\phi)*sin(\phi)-4z^2*sin(\phi) [/mm] dz [mm] d\phi [/mm]
das Integral erscheint mir eigentlich ziemlich komplex, da man die komplette Aufgabe in ca. 15 min Lösen muss, daher gehe ich davon aus, dass ich mich irgendwo verrechnet oder ein Denkfehler habe. Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte wo ich mich verhauen habe.
Danke schonmal im Voraus
P.s.: wenn man das Integral trotzdem löst kommt 8/3 heraus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Und hier kommt schon meine nächste Frage:
> ich nehme an ich muss oben genanntes Problem mittels des
> Satzes von Stokes lösen.
>
> also [mm]\integral_{\partial F}^{}{A ds}[/mm] = [mm]\integral_{ F}^{}{rot(A)*n ds}[/mm]
>
> hierzu habe ich zunächst die Rotation bestimmt: rot(A)=
> [mm]\vektor{0 \\ -x-2z^2\\ 0}[/mm]
Das ist richtig.
>
> Anschließend habe ich die Parametrisierung des
> Halbzylinders vorgenommen. Der Radius beträgt 2 (siehe
> aufgabenstellung) also:
> [mm]\gamma[/mm] = [mm]\vektor{ 2*cos(\phi) \\ 2*sin(\phi) \\ z}[/mm]
>
> anschließend habe ich die Parametrisierung nach [mm]\phi[/mm] und z
> abgeleitet und das Kreuzprodukt gebildet
Hier versteh ich nicht wieso du das machst (also das Ableiten). Du willst die Normale haben, oder?
>
> [mm]\vektor{-2sin(\phi) \\ 2cos(\phi) \\ 0} \times \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{2cos(\phi) \\ 2sin(\phi) \\ 0}[/mm]
>
> für die Grenzen wähle ich: z [0,1] , [mm]\phi[/mm] [mm][\pi[/mm] , 2 [mm]\pi[/mm] ]
> ( unterer halbkreis)
> nun setze ich das in die Gleichung für das Integral ein
> und erhalte:
>
>
> [mm]\integral_{\partial F}^{}{A ds}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{\pi}^{2 \pi} \vektor{0 \\ -2cos( \phi) -2z^2 \\ 0 }[/mm] * [mm]\vektor{2cos( \phi) \\ 2sin(\phi) \\ 0}[/mm] dz [mm]d\phi= \integral_{0}^{1} \integral_{\pi}^{2 \pi} -4cos(\phi)*sin(\phi)-4z^2*sin(\phi)[/mm] dz [mm]d\phi[/mm]
Wieso steht am Anfang bei der Rotation auf einmal statt einem x ein [mm] cos(\phi)? [/mm] Kann sein, dass du vergessen hast die Transformationsformel anzuwenden? Du gehst ja über von kartesischen Koordinaten zu Zylinderkoordinaten, da musste doch die Determinante der Transformationsmatrix (oder so ähnlich) noch mit einbauen.
> das Integral erscheint mir eigentlich ziemlich komplex, da
> man die komplette Aufgabe in ca. 15 min Lösen muss, daher
> gehe ich davon aus, dass ich mich irgendwo verrechnet oder
> ein Denkfehler habe. Wäre nett wenn mir jemand sagen
> könnte wo ich mich verhauen habe.
Du solltest vielleicht bei kartesischen Koordinaten bleiben. Die Parametrisierung ist an sich nicht so schwer, ist ja fast wie ein Kreis (also sowas wie [mm]x = \sqrt{1-y^2}[/mm], oder so änlich, muss dann da auftauchen). Und die Normale wäre ja auch dann bloß ein Einheitsvektor des Kreises (und dann noch um z nach oben verschoben).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Fr 03.10.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
Dieses Integral ist gar nicht so kompliziert wie du denkst. Und es kommt auch wirklich dein angegebenes Ergebnis heraus. Also hast du dich auch nicht verrechnet.
> P.s.: wenn man das Integral trotzdem löst kommt 8/3 heraus.
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{\pi}^{2 \pi} -4cos(\phi)*sin(\phi)-4z^2*sin(\phi)dz d\phi
[/mm]
[mm] =-4*\integral_{0}^{1} \integral_{\pi}^{2 \pi} sin(\phi)(cos(\phi)+z^{2})dz d\phi
[/mm]
[mm] =-4*\integral_{\pi}^{2 \pi} [sin(\phi)(z*cos(\phi)+\bruch{1}{3}z^{3})]^{1}_{0} d\phi
[/mm]
[mm] =-4*\integral_{\pi}^{2 \pi} sin(\phi)(cos(\phi)+\bruch{1}{3}) d\phi
[/mm]
[mm] =-4*\integral_{\pi}^{2 \pi} sin(\phi)cos(\phi)+\bruch{1}{3}sin(\phi) d\phi
[/mm]
[mm] =-4*[\integral_{\pi}^{2 \pi} sin(\phi)cos(\phi)d\phi +\bruch{1}{3}\integral_{\pi}^{2 \pi} sin(\phi) d\phi]
[/mm]
Hier habe ich das Integral in zwei Integrale aufgespalten.
Das erste Integral kannst du ganz einfach mit partieller Integration lösen. Das zweite Integral ist noch einfacher.
Probier es mal zu Ende zu führen. Für die Integration brauchst du nun nicht mehr als drei weitere Zeilen.
Wenns Probleme gibt melde dich wieder.
Gruß,
clwoe
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Du hast recht, eine einfache partielle Integration zeigt schon, dass dieses Verschwindet, und es kommt dann beim 2. Integral in der Tat die 8/3 heraus.
Allerdings habe ich definitiv vorher mindestens einen Fehler gemacht, nämlich die Determinante der Transformationsmatrix vergessen. Ich versuche noch einmal klarer darzustellen was ich warum gemacht habe und bitte euch, mir meine Fehler mitzuteilen.
Um den Normalenvektor herauszubekommen muss ich doch die Parametrisierung nach den beiden Variablen ableiten und anschließend das Kreuzprodukt aus ihnen bilden, oder? Ich bin mir nicht ganz sicher was ich mit dem Radius machen soll. Ich habe ihn als Konstante angesehen, da der Radius ja konstant 2 ist.
Kann ich das so machen bzw ist die Argumentation korrekt?
[mm] \vektor{-2sin(\phi) \\ 2cos(\phi) \\ 0} \times \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2cos(\phi) \\ 2sin(\phi) \\ 0}
[/mm]
für die Grenzen wähle ich: z [0,1] , [mm] \phi [/mm] [mm] [\pi [/mm] , 2 [mm] \pi [/mm] ] ( unterer halbkreis)
nun setze ich das in die Gleichung für das Integral ein und erhalte:
ich nehme an die Grenzen sind soweit korrekt. Ich integriere über die gesamte höhe und über den unteren Halbkreis.
Die Determinante der Transformationsmatrix für Zylinderkoordinaten ist r, also in diesem Fall 2, sofern meine argumentation oben korrekt ist, also gilt:
[mm] \integral_{\partial F}^{}{A ds} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{\pi}^{2 \pi} (\vektor{0 \\ -2cos( \phi) -2z^2 \\ 0 }*2) [/mm] * [mm] \vektor{2cos( \phi) \\ 2sin(\phi) \\ 0} [/mm] dz [mm] d\phi= \integral_{0}^{1} \integral_{\pi}^{2 \pi} -8cos(\phi)*sin(\phi)-8z^2*sin(\phi) [/mm] dz [mm] d\phi [/mm] = 16/3
Ich hoffe das ist nun korrekt. Falls ihr einen Fehler in einem der Rechenschritte findet bitte melden.
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Hallo sk8terb0i,
> Du hast recht, eine einfache partielle Integration zeigt
> schon, dass dieses Verschwindet, und es kommt dann beim 2.
> Integral in der Tat die 8/3 heraus.
>
> Allerdings habe ich definitiv vorher mindestens einen
> Fehler gemacht, nämlich die Determinante der
> Transformationsmatrix vergessen. Ich versuche noch einmal
> klarer darzustellen was ich warum gemacht habe und bitte
> euch, mir meine Fehler mitzuteilen.
>
> Um den Normalenvektor herauszubekommen muss ich doch die
> Parametrisierung nach den beiden Variablen ableiten und
> anschließend das Kreuzprodukt aus ihnen bilden, oder? Ich
> bin mir nicht ganz sicher was ich mit dem Radius machen
> soll. Ich habe ihn als Konstante angesehen, da der Radius
> ja konstant 2 ist.
> Kann ich das so machen bzw ist die Argumentation korrekt?
>
>
> [mm]\vektor{-2sin(\phi) \\ 2cos(\phi) \\ 0} \times \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{2cos(\phi) \\ 2sin(\phi) \\ 0}[/mm]
>
Beim Stokesschen Satz im [mm]\IR^{3}[/mm] verwendet man die Einheitsnormale.
Somit ist n so definiert:
[mm]n=\vmat{\bruch{\partial \gamma}{\partial \phi}\times \bruch{\partial \gamma}{\partial z}}^{-1}*\left(\bruch{\partial \gamma}{\partial \phi}\times \bruch{\partial \gamma}{\partial z}}\right)[/mm]
Und das Wegelement ds so:
[mm]ds=\vmat{\bruch{\partial \gamma}{\partial \phi}\times \bruch{\partial \gamma}{\partial z}}d \phi \ dz[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]n \ ds=\vmat{\bruch{\partial \gamma}{\partial \phi}\times \bruch{\partial \gamma}{\partial z}}^{-1}*\left(\bruch{\partial \gamma}{\partial \phi}\times \bruch{\partial \gamma}{\partial z}}\right)*\vmat{\bruch{\partial \gamma}{\partial \phi}\times \bruch{\partial \gamma}{\partial z}}d\phi \ dz=\left(\bruch{\partial \gamma}{\partial \phi}\times \bruch{\partial \gamma}{\partial z}}\right)*d \phi \ dz[/mm]
>
> für die Grenzen wähle ich: z [0,1] , [mm]\phi[/mm] [mm][\pi[/mm] , 2 [mm]\pi[/mm] ]
> ( unterer halbkreis)
> nun setze ich das in die Gleichung für das Integral ein
> und erhalte:
>
> ich nehme an die Grenzen sind soweit korrekt. Ich
> integriere über die gesamte höhe und über den unteren
> Halbkreis.
>
> Die Determinante der Transformationsmatrix für
> Zylinderkoordinaten ist r, also in diesem Fall 2, sofern
> meine argumentation oben korrekt ist, also gilt:
>
> [mm]\integral_{\partial F}^{}{A ds}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{\pi}^{2 \pi} (\vektor{0 \\ -2cos( \phi) -2z^2 \\ 0 }*2)[/mm]
> * [mm]\vektor{2cos( \phi) \\ 2sin(\phi) \\ 0}[/mm] dz [mm]d\phi= \integral_{0}^{1} \integral_{\pi}^{2 \pi} -8cos(\phi)*sin(\phi)-8z^2*sin(\phi)[/mm]
> dz [mm]d\phi[/mm] = 16/3
>
> Ich hoffe das ist nun korrekt. Falls ihr einen Fehler in
> einem der Rechenschritte findet bitte melden.
>
Hier ist nix mit der Determinante der Transformationsmatrix.
Es sei denn Du willst ueber den ganzen Zylinder integrieren.
>
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Sa 04.10.2008 | | Autor: | sk8terb0i |
Demnach war mein erster Lösungsansatz doch richtig.
Danke für eure Unterstützung!
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