Satz von Stokes < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Do 05.11.2009 | | Autor: | ownshake |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Vektorfeld $ [mm] \vec{F}(\vec{r}) [/mm] $ = (-y,x,0). Überprüfen Sie den Satz von Stokes für $ [mm] \vec{F} [/mm] $ für zwei verschiedene Flächen:
a) Das Einheitsquadrat Q: (0,0) (1,0) (1,1) (0,1)
b) Den Kreis K mit dem Radius R um den Ursprung |
Hallo zusammen,
ich habe ein großes Problem bei dieser Aufgabe. Ich verstehe nicht, wie man das Linienintegral über das Einheitsquadrat bildet, weil es ja keine Funktion gibt die das Einheitsquadrat beschreibt.
Irgendwie ist bei mir noch alles sehr unklar, was ich genau machen muss und was man genau beim Satz von Stokes zu tun hat.
Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.
Liebe Grüße ownshake
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Hallo!
Ich finde das etwas merkwürdig, daß du hier ein offensichtlich dreidimensionales Feld hast, und den Satz von Stokes aber über eine 2D-Fläche und ihren Rand machen sollst. Ich hätte jetzt eher einen Einheitswürfel und eine Kugel vorgeschlagen.
Das geht nur deshalb gut, weil das feld selbst keine z-Komponente hat und die Rotation ausschließlich ne z-Komponente hat.
Die parametrisierung der Quadratfläche ist einfach: [mm] $A=\{(x,y)| 0\le x\le 1\ \text{und}\ 0\le y\le 1\}$
[/mm]
Das ergibt demnach auch [mm] \int\int\,dxdy
[/mm]
Beim Rand läßt du ja immer eine variable laufen, die andere ist fest, so ist EINE der vier Seiten [mm] R_1=\{(0,y)|0\le y\le 1 \} [/mm] .
Es wird dann auch nur über y integriert, ist ist konstant 0. Man schreibt das so: [mm] $\left \int\,dy \right|_{x=0}$
[/mm]
Du sollst jetzt den Satz von Stokes anwenden, also
[mm] $\int_0^1\int_0^1(\vec\nabla *\vec F)\,dxdy =\left \int F\,dy \right|_{x=0} +\text{restliche 3 Ränder}$
[/mm]
und einfach mal schaun, ob rechts und links das gleiche raus kommt.
Das ist ein einfaches Rechenbeispiel ohne tiefere Bedeutung, an dem du beide Seiten einfach ausrechnen kannst. So, als solltest du [mm] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 [/mm] durch Einsetzen von zwei Zahlen überprüfen.
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