Satz von Vieta? < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Do 09.08.2007 | | Autor: | kooshino |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie muss ich vorgehen und welche Regeln muss ich anwenden um folgenden Ausdruck zu erhalten?:
(3x+1)(x-3)=0?
Irgendwie habe ich damit meine Schwierigkeiten.
Gruss und Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 Do 09.08.2007 | | Autor: | Kroni |
> 3x²-8x-3=0
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Wie muss ich vorgehen und welche Regeln muss ich anwenden
> um folgenden Ausdruck zu erhalten?:
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> (3x+1)(x-3)=0?
Hi,
das kannst du durch "Hinsehen" machen, oder anders auch der Satz von Vieta genannt:
Nehmen wir mal einfach den Ausdruck, den du dort schon stehen hast:
$(3x+1)(x-3)$ und multiplizieren wir das aus:
[mm] $=3x^2-9x+x-3$
[/mm]
Wenn wir uns das jetzt mal vereinfacht angucken, so können wir folgendes sagen:
Die Koeffizienten, also die Zahlen, die vor dem x stehen, müssen zusammenmultilpliziert 3 ergeben.
Dann muss die Summe aus dem Koeffizienten aus der Linken Klammer mit der Zahl, die in der rechten Klammer steht und dem anderen Koffeizienten aus der rechten Klammer mit der Zahl aus der linken Klammer, zusammen -8 ergeben, da diese oben in der Gleichung steht:
$3*(-3)+1*1=-9+1=-8$
Und das Produkt aus den beiden einsam zusammenstehenden Zahlen muss -3 ergeben:
$-3*1=-3$
Die Bedingungen sind erfüllt, also kann man das dementsprechen so umschreiben.
Dieses Beispiel ist aber zum Erkären her sehr müßig, deshalb nehme ich ein anderes, wo vor dem [mm] $x^2$ [/mm] der Koeffizient 1 steht:
[mm] $x^2-6x+8=0$
[/mm]
Jetzt können wir diese quad. Funktion in die Form $(x+a)(x+b)=0$ umschreiben:
Wir fragen uns: Welche Zahlenpaare gibt es, die zusammenaddiert -6 ergeben und mutlipliziert 8. Denn genau das steckt ja in dem Satz von Vieta drin:
Gucken wir uns das mal an: Die 8 kriegen wir aus 1*8, 2*4, oder eben -1*(-8) und -2*(-4).
Jetzt probieren wir diese Zahlenpaare durch und summieren diese auf:
1+8=9 , ergibt nicht -6
2+4=6 , ergibt nicht -6
-1+(-8)=-9, ergibt nicht -6
-2-4=-6, das passt also.
Also können wir diese quad. Funktion in die Form
$(x-2)(x-4)=0 $ umschreiben, und daraus dann sofort die Nullstellen ablesen.
Warum das so ist?
Gucken wir uns das ganze noch einmal rückwärts an:
$(x-2)(x-4)=0 [mm] \gdw x^2-4x-2x-2\* [/mm] (-4)=0 [mm] \gdw x^2-4x-2x+8=0$
[/mm]
Du siehst also: Das Produkt aus den beiden Zahlen die in den Klammern stehen ergeben die 8, also die Alleinstehende Zahl am Ende.
Und die Summe aus den beiden Zahlen, also die Summe aus -2 und -4 muss die Zahl vor dem x ergeben.
Das passt ja hier auch in diesem Beispiel.
Genau die selbe Überlegung musst du oben mit einbeziehen, nur eben, dass vor dem einen x noch die 3 steht, und du diese entsprechend mitbeachten musst, da man dann bei der -3 in der rechten Klammer noch die 3 vor dem x mitbeachten muss.
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> Irgendwie habe ich damit meine Schwierigkeiten.
Ich hoffe, das zweite Beispiel konnte dir mehr helfen, und dass du dann das Problem auf das erste zurückführen kannst.
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> Gruss und Danke
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LG
Kroni
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