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Forum "mathematische Statistik" - Schätzwert berechnen
Schätzwert berechnen < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Schätzwert berechnen: auf Quantil basierend
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:55 Fr 09.07.2010
Autor: pojo

Aufgabe
Es seien [mm] X_1, ...,X_{11} [/mm] Zufallsvariablen mit der Dichte

[mm] f_{\theta}(x) [/mm] = [mm] 2\theta^2(\theta-x)^{-3}, [/mm] x [mm] \le [/mm] 0 (ansonsten 0)

a) Welche Beziehung besteht zwischen [mm] \theta [/mm] und dem 1/4 Quantil der Verteilung [mm] X_k? [/mm]
b) Geben Sie einen auf dem empirischen 1/4 Quantil basierenden Schätzwert für [mm] \theta [/mm] an.

(Messwerte für [mm] X_1,...,X_{11} [/mm] sind gegeben)


Mir fehlt für diese Aufgabe der Ansatz, wie fange ich an, wie berechne ich in diesem Fall den Schätzwert?

        
Bezug
Schätzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 Sa 10.07.2010
Autor: luis52

Moin
>

>  
> Mir fehlt für diese Aufgabe der Ansatz, wie fange ich an,
> wie berechne ich in diesem Fall den Schätzwert?

Na so gar nichts wirst du wohl nicht wissen. Was ist denn ein Quantil?

vg Luis


Bezug
                
Bezug
Schätzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Sa 10.07.2010
Autor: pojo

Naja, das 1/4 Quantil ist der Wert, unter den mind. 1/4 der Messungen fallen.

Um mein bisheriges Vorgehen mal zu schildern (über Korrekturen würde ich mich freuen):

Ich habe nun die Dichte erstmal von [mm] \integral_{-\infty}^{x}{} [/mm] integriert, um auf die Verteilungsfunktion zu kommen. Danach das Integral ausgewertet und für x das 1/4-Quantil eingesetzt. Dann den Term = 1/4 gesetzt.

Also

[mm] \frac{\theta^2}{(\theta - \rho_{1/4})^2} [/mm] = 1/4

Umstellen nach [mm] \theta [/mm] liefert dann die Abhängigkeit vom 1/4-Quantil [mm] (\theta [/mm] = [mm] -\rho_{1/4}) [/mm]

So, und für Teil b) habe ich dann das empirische Quantil hergenommen und damit ergibt sich für den Schätzwert [mm] \theta [/mm] der Quantilwert mit negativem Vorzeichen.

Bezug
                        
Bezug
Schätzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Sa 10.07.2010
Autor: luis52


> Naja, das 1/4 Quantil ist der Wert, unter den mind. 1/4 der
> Messungen fallen.
>  
> Um mein bisheriges Vorgehen mal zu schildern (über
> Korrekturen würde ich mich freuen):
>  
> Ich habe nun die Dichte erstmal von
> [mm]\integral_{-\infty}^{x}{}[/mm] integriert, um auf die
> Verteilungsfunktion zu kommen. Danach das Integral
> ausgewertet und für x das 1/4-Quantil eingesetzt. Dann den
> Term = 1/4 gesetzt.
>  
> Also
>  
> [mm]\frac{\theta^2}{(\theta - \rho_{1/4})^2}[/mm] = 1/4
>  
> Umstellen nach [mm]\theta[/mm] liefert dann die Abhängigkeit vom
> 1/4-Quantil [mm](\theta[/mm] = [mm]-\rho_{1/4})[/mm]

[ok]

>  
> So, und für Teil b) habe ich dann das empirische Quantil
> hergenommen und damit ergibt sich für den Schätzwert
> [mm]\theta[/mm] der Quantilwert mit negativem Vorzeichen.

Hier tue *ich* mich schwer. Was verwendest du denn als empirisches Quantil?

vg Luis


Bezug
                                
Bezug
Schätzwert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Sa 10.07.2010
Autor: pojo

Es sind 11 Messwerte gegeben, das 1/4-Quantil sollte dann der dritte Wert sein (aufsteigend sortiert). In diesem Fall -0.59).

Bezug
                                        
Bezug
Schätzwert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:58 Sa 10.07.2010
Autor: luis52


> Es sind 11 Messwerte gegeben, das 1/4-Quantil sollte dann
> der dritte Wert sein (aufsteigend sortiert). In diesem Fall
> -0.59).

Okay. das ist nicht immer eindeutig (manche verwenden das arithmetische Mittel des 3. und 4. Wertes, was die Chose noch mehr erschwert haette).

Schau mal []hier, Formel (1). (Das sieht nach Arbeit aus!)

vg Luis



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