Scheitelpunkt < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Di 26.02.2013 | | Autor: | Leon81 |
| Aufgabe | Hallo ihr Lieben.
Bin zur Zeit auf der Suche nach der Erklärung für die Scheitelform einer quadratischen Funktion.
Genauer gesagt möchte ich meinem Nachhilfeschüler möglichst plausibel machen, warum man aus der Scheitelform direkt das Extremum ablesen kann. Jetzt merke ich, dass ich das zwar anwenden kann, aber es gar nicht so plausibel erklären kann.
Ich wäre dankbar für eine schnelle Hilfe. Er übrigens auch.
LG |
Ich denke ich kann erklären wie man auf diese Koordinaten kommt, welche aus der Scheitelform abzulesen sind. Aber ich kann nicht sagen, warum es sich bei der Koordinate um ein Extremum handelt. Habe bisher immer mit Ableitungen argumentiert. Aber das dürfen die Schülerinnen und Schüler der Klasse 10 ja nicht verwenden.
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Hallo,
> Bin zur Zeit auf der Suche nach der Erklärung für die
> Scheitelform einer quadratischen Funktion.
> Genauer gesagt möchte ich meinem Nachhilfeschüler
> möglichst plausibel machen, warum man aus der Scheitelform
> direkt das Extremum ablesen kann. Jetzt merke ich, dass ich
> das zwar anwenden kann, aber es gar nicht so plausibel
> erklären kann.
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> Ich wäre dankbar für eine schnelle Hilfe. Er übrigens
> auch.
>
> LG
> Ich denke ich kann erklären wie man auf diese Koordinaten
> kommt, welche aus der Scheitelform abzulesen sind. Aber ich
> kann nicht sagen, warum es sich bei der Koordinate um ein
> Extremum handelt. Habe bisher immer mit Ableitungen
> argumentiert. Aber das dürfen die Schülerinnen und
> Schüler der Klasse 10 ja nicht verwenden.
Betrachte mal die Normalparabel. Warum jetzt das Schaubild von [mm] f(x)=x^2 [/mm] eine Parabel im geometrischen Sinne (und damit ein Kegelschnitt mit den bekannten Eigenschaften) ist, das ist in der Schule des 21. Jahrhunderts nicht mehr gefragt und mit den zur Verfügung stehenden Mitteln auch nicht zu erklären. Insbesondere muss man also die achsensymmetrische Form der Parabel mit der stärksten Krümmung am Scheitel mehr oder weniger hinnehmen, so einigermaßen kann man es mit den Eigenschaften der Quadratfunktion plausibel machen. Insbesondere, dass die Normalparabel zur y-Achse symmetrisch ist folgt ja aus [mm] (-x)^2=x^2 [/mm] sofort.
Was man aber Schülern ohne weiteres erklären kann, und was auch eigentlich dann als dauerhaftes Wissen aus dieser Thematik bleiben sollte sind folgende Punkte:
- eine Streckung um den Faktor a ändert für [mm] a\ne{0} [/mm] nichts an der Lage von Extremstellen einer Funktion.
- Bezüglich des Schaubilds einer Funktion f(x) ist das Schaubild von f(x-c) in x-Richtung verschoben und zwar für positive c nach rechts, für negative c nach links.
- Bezüglich des Schaubilds einer Funktion f(x) ist das Schaubild von f(x)+d in y-Richtung verschoben und zwar für positive d nach oben, für negative d nach unten.
Die Parabel mit der Gleichung
[mm] f(x)=a*(x-c)^2+d
[/mm]
geht durch die genannten Abbildungen aus der Normalparabel hervor. Der Scheitelpunkt verschiebt sich dabei entsprechend. Und da der Scheitelpunkt der Normalparabel eben im Ursprung liegt, folgt für die obige Parabel eben gerade S(c|d).
Gruß, Diophant
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