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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Fr 26.01.2007 | | Autor: | lene233 |
| Aufgabe | | Zeichnen Sie für einige verschiedene Werte von b den Graphen von [mm] f(x)=x^{2}+bx [/mm] . Auf welcher Kurve liegen die Scheitelpunkte? Was hat diese Kurve mit den Ausgangsparabeln [mm] f(x)=x^{2}+bx [/mm] zu tun? Dieselbe Aufgabe mit [mm] f(x)=\bruch{1}{4}x^{2}+bx-1. [/mm] Begründung? |
Hallo,
also ich habe den Graphen für verschiedene Werte gezeichnet. So, dann die Scheitelpunkte. Für eine Funktion [mm] f(x)=ax^{2}+bx+c [/mm] hat der Scheitelpunkt die Koordinaten [mm] S(-\bruch{b}{2a}|-(\bruch{b}{2})^{2}+c). [/mm] Für diese Funktion wäre es dann ja [mm] S(-\bruch{b}{2}|-\bruch{b^{2}}{4}). [/mm]
Setze ich dann für b verschiedene Werte ein, bekomme ich mehrere Scheitelpunkte heraus für die jeweiligen b.
Das wären dann z.B. (0|0), [mm] (-\bruch{1}{2}|-\bruch{1}{4}), [/mm] (-1|-1)
dann habe ich die allgemein Formel [mm] f(x)=ax^{2}+bx+c [/mm] genommen und dann jeweils eingesetzt.
f(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
[mm] f(-\bruch{1}{2})=-\bruch{1}{4} \Rightarrow \bruch{1}{4}a-\bruch{1}{2}b=-\bruch{1}{4}
[/mm]
f(-1)=-1 [mm] \Rightarrow [/mm] a-b=-1
Rechnet man das dann aus, bekomme ich b=0 und a=-1.
Also [mm] f(x)=-x^{2}
[/mm]
Die Scheitelpunkte liegen also auf dieser Funktion.
Meine Frage ist, ob das so richtig ist, wie ich das gemacht habe? Also ist das in der Schule so okay? Oder gibt es Sachen die ich besser machen könnte, anders formulieren?
Und ich kann leider nicht so recht formulieren, was das mit der Ausgangsfunktion zu tun hat. Wäre dankbar für Hilfe.
Für das zweite hätte ich dann für die Scheitelpunktfunktion da raus: [mm] f(x)=-\bruch{1}{16}x^{2}-1
[/mm]
Aber das scheint mir nicht ganz richtig zu sein. Komisch irgendwie... als Scheitelpunkt allgemein hab ich [mm] S(-2b|-\bruch{b^{2}}{4}-1)
[/mm]
und als mögliche Scheitelpunkte dann (0|-1), (-4|-2), (4|-2).
Sieht jemand dann meinen Fehler? Das andere habe ich ja gemacht wie oben.
lg lene
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Hallo lene233,
Aufgabe 1 hast du ganz prima gelöst! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Zeichnen Sie für einige verschiedene Werte von b den
> Graphen von [mm]f(x)=x^{2}+bx[/mm] . Auf welcher Kurve liegen die
> Scheitelpunkte? Was hat diese Kurve mit den
> Ausgangsparabeln [mm]f(x)=x^{2}+bx[/mm] zu tun? Dieselbe Aufgabe mit
> [mm]f(x)=\bruch{1}{4}x^{2}+bx-1.[/mm] Begründung?
> Hallo,
>
> also ich habe den Graphen für verschiedene Werte
> gezeichnet. So, dann die Scheitelpunkte. Für eine Funktion
> [mm]f(x)=ax^{2}+bx+c[/mm] hat der Scheitelpunkt die Koordinaten
> [mm]S(-\bruch{b}{2a}|-(\bruch{b}{2})^{2}+c).[/mm] Für diese Funktion
> wäre es dann ja [mm]S(-\bruch{b}{2}|-\bruch{b^{2}}{4}).[/mm]
>
> Setze ich dann für b verschiedene Werte ein, bekomme ich
> mehrere Scheitelpunkte heraus für die jeweiligen b.
>
> Das wären dann z.B. (0|0), [mm](-\bruch{1}{2}|-\bruch{1}{4}),[/mm]
> (-1|-1)
Das kannst du schöner machen:
für die jeweiligen Scheitelpunkte gilt: [mm] x_S=-\frac{b}{2} [/mm] und [mm] y_S=-\frac{b^2}{4}
[/mm]
beide Koordinaten hängen also von dem Parameter b ab; den kann man eliminieren:
[mm] b=-2x_S [/mm] und das setzt du nun in [mm] y_S [/mm] ein: [mm] y=-\frac{(-2x)^2}{4}
[/mm]
du siehst dadurch:
1. du hast richtig überlegt
2. es gibt einen allgemeineren Weg, den Zusammenhang zwischen [mm] x_S [/mm] und [mm] y_S [/mm] zu ermitteln.
>
> dann habe ich die allgemein Formel [mm]f(x)=ax^{2}+bx+c[/mm]
> genommen und dann jeweils eingesetzt.
>
> f(0)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] c=0
> [mm]f(-\bruch{1}{2})=-\bruch{1}{4} \Rightarrow \bruch{1}{4}a-\bruch{1}{2}b=-\bruch{1}{4}[/mm]
>
> f(-1)=-1 [mm]\Rightarrow[/mm] a-b=-1
>
> Rechnet man das dann aus, bekomme ich b=0 und a=-1.
>
> Also [mm]f(x)=-x^{2}[/mm]
>
> Die Scheitelpunkte liegen also auf dieser Funktion.
Das solltest du so nicht sagen, sondern:
die Scheitelpunkte liegen auf dem Graphen dieser Funktion!
> Meine Frage ist, ob das so richtig ist, wie ich das gemacht
> habe? Also ist das in der Schule so okay? Oder gibt es
> Sachen die ich besser machen könnte, anders formulieren?
> Und ich kann leider nicht so recht formulieren, was das mit
> der Ausgangsfunktion zu tun hat. Wäre dankbar für Hilfe.
>
> Für das zweite hätte ich dann für die Scheitelpunktfunktion
> da raus: [mm]f(x)=-\bruch{1}{16}x^{2}-1[/mm]
>
> Aber das scheint mir nicht ganz richtig zu sein. Komisch
> irgendwie... als Scheitelpunkt allgemein hab ich
> [mm]S(-2b|-\bruch{b^{2}}{4}-1)[/mm]
da du uns deine Rechnung nicht verrätst und ich nicht Gedanken lesen kann  ,
kann ich es nicht beurteilen.
>
> und als mögliche Scheitelpunkte dann (0|-1), (-4|-2),
> (4|-2).
>
> Sieht jemand dann meinen Fehler? Das andere habe ich ja
> gemacht wie oben.
Wende doch bitte mal den oben beschriebenen Weg an und kontrolliere dich dadurch selbst...
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Sa 27.01.2007 | | Autor: | lene233 |
Hallo,
>
> > Wenn ich das dann so mache, wie du das
> > vorgeschlagen hast, sieht das folgendermaßen aus:
> >
> > [mm]x_{s}=-2b[/mm]
> >
> > [mm]y_{s}=-\bruch{b^{2}}{\red{4}}-1[/mm]
> hier steckt m.E. der Fehler!
> >
wieso ist das der Fehler? Ich weiß grad echt nicht wieso :-( Die allgemein Formel für einen Scheitelpunkt für y ist doch [mm] -(\bruch{b}{2})^{2}+c [/mm]
Nun ja, eingesetzt ist das doch im Zähler 4, oder etwa nicht? Tut mir Leid, steh echt aufm Schlauch.
lg lene
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Hallo lene233,
> Hallo,
>
>
> >
> > > Wenn ich das dann so mache, wie du das
> > > vorgeschlagen hast, sieht das folgendermaßen aus:
> > >
> > > [mm]x_{s}=-2b[/mm]
> > >
> > > [mm]y_{s}=-\bruch{b^{2}}{\red{4}}-1[/mm]
> > hier steckt m.E. der Fehler!
> > >
>
> wieso ist das der Fehler? Ich weiß grad echt nicht wieso
> :-( Die allgemein Formel für einen Scheitelpunkt für y ist
> doch [mm]-(\bruch{b}{2})^{2}+c[/mm]
>
> Nun ja, eingesetzt ist das doch im Zähler 4, oder etwa
> nicht? Tut mir Leid, steh echt aufm Schlauch.
>
$ [mm] f(x)=\bruch{1}{4}x^{2}+bx-1 =\frac{1}{4}(x^2+4b*x+(2b)^2)-b^2-1=\frac{1}{4}(x+2b)^2-b^2-1$
[/mm]
Beachte den Faktor, den ich ausgeklammert habe!
Jetzt erkennst du, warum die 4 im Nenner falsch ist: [mm] y_S=-b^2-1
[/mm]
Gruß informix
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