Scheitelpunkte, Nullstellen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 So 05.02.2006 | | Autor: | dpk |
| Aufgabe | Von zwei nach oben geöffneten Normalparabeln sind die Schnittpunkte mit der x-Achse bekannt.
p1: [mm] N_{1}(0|0) [/mm] und [mm] N_{2}(-4|0)
[/mm]
p2: [mm] N_{3}(0|0) [/mm] und [mm] N_{4}(3|0)
[/mm]
Durch die Scheitelpunkte p1 und p2 verläuft eine Gerade.
Berechnen Sie die Gleichung dieser Geraden. |
Hallo,
tut mir Leid, dass ich euch wieder störe, aber hier benötige ich wieder einen kleinen Anstoss :-(
Wie kriege ich aus 2 Nullstellen die Scheitelpunkte heraus?
Gruss dpk
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Hallo!
> Von zwei nach oben geöffneten Normalparabeln sind die
> Schnittpunkte mit der x-Achse bekannt.
>
> p1: [mm]N_{1}(0|0)[/mm] und [mm]N_{2}(-4|0)[/mm]
> p2: [mm]N_{3}(0|0)[/mm] und [mm]N_{4}(3|0)[/mm]
>
> Durch die Scheitelpunkte p1 und p2 verläuft eine Gerade.
> Berechnen Sie die Gleichung dieser Geraden.
> Hallo,
> tut mir Leid, dass ich euch wieder störe, aber hier
> benötige ich wieder einen kleinen Anstoss :-(
>
> Wie kriege ich aus 2 Nullstellen die Scheitelpunkte
> heraus?
Mmh, so ganz spontan würde ich mal sagen, dass eine Normalparabel doch symmetrisch ist, und dass demnach der Scheitelpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen liegen muss - also genau in der Mitte, meine ich. Damit hättest du dann schon mal den x-Wert.
Mmh, eir man nun de y-Wert günstig berechnet, weiß ich im Moment gerade nicht - evtl. hilft dir das hier:  Parabel
Mit ein bisschen Rumrechnerei dürfte das aber auch auf komplizierte Weise zu machen sein, aber irgendein Spezi hat vllt auch eine einfachere Variante. Mal sehen, vielleicht fällt mir gleich noch etwas dazu ein.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 So 05.02.2006 | | Autor: | dpk |
Hallo,
okay, daraus ergibt sich [mm] \bruch{0 + (-4)}{2} [/mm] = -2
Formel, die ich benötige (ohne Verschiebung): y = x² => y = -2² => y = -4
Und nun? Was muss ich nun machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 So 05.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo dpk,
der Clou an der Sache ist, dass man aus zwei Angaben keine eindeutige Parabel bestimmen kann. Man braucht dazu drei Angaben!
Die dritte Angabe (neben den Nullstellen) ist in der Aufgabenstellung versteckt: Es sollen nach oben geöffnete Normalparabeln sein!
Das heißt, die zugehörige Funktion lautet: [mm] $f(x)=x^{2}+bx+c$ [/mm] (bei einer "allgemeinen" Parabel hätte man [mm] $f(x)=ax^{2}+bx+c$).
[/mm]
Wir müssen also auf einen Term [mm] $f(x)=x^{2}+bx+c$ [/mm] kommen. Du kennst die Nullstellen der Parabeln und weißt daher, dass (im Fall der ersten Normalparabel) $x(x+4)=0$ ist.
Multiplizierst du $x(x+4)$ aus, erhältst du eine Funktion, die
1. eine nach oben geöffnete Normalparabel darstellt, und
2. die Nullstellen $0$ und $-4$ hat.
Wenn du den Funktionsterm $f(x)=x(x+4)$ auf Scheitelform bringst, kannst du den Scheitelpunkt ganz leicht bestimmen.
Mit der zweiten Parabel geht das genauso!
Alles klar? Ansonsten bitte nochmal nachfragen!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 So 05.02.2006 | | Autor: | dpk |
Ich hab es noch nicht ganz verstanden ... :-( Wie kommst du auf $ f(x)=x(x+4) $
$ f(x)=x(x+4) $ => Scheitelsform: y = (x + 2)²
Meinst du das so?
Für die zweite y = (x - 1,5)² ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:17 So 05.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo dpk,
also, wir suchen ja eine Funktion $f(x)$, die die Nullstellen $0$ und $-4$ hat.
D.h. wenn ich den Term $x(x+4)$ betrachte, habe ich doch eine solche Funktion gefunden, denn
$f(x)=x(x+4)=0 [mm] \gdw [/mm] x=0$ oder $x=4$.
Und obendrein ist [mm] $f(x)=x(x+4)=x^{2}+4x$ [/mm] eine nach oben geöffnete Normalparabel. Wir haben also alle "Forderungen" erfüllt.
Die erste Parabel hat also die Funktionsvorschrift [mm] $f(x)=x^{2}+4x$.
[/mm]
Und die bringen wir jetzt auf Scheitelform mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:
[mm] $f(x)=x^{2}+4x=x^{2}+4x+4-4=(x+2)^{2}-4$
[/mm]
Was ist also der Scheitelpunkt der ersten Parabel? 
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 So 05.02.2006 | | Autor: | dpk |
Ich hab immer noch nicht verstanden, wie du darauf gekommen bist! :-(
$ [mm] f(x)=x^{2}+4x=x^{2}+4x+4-4=(x+2)^{2}-4 [/mm] $
S(-2|-4)
[mm] x^{2}+4x+4-4 [/mm] <-- was soll das hier?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo dpk!
Um auf die Scheitelpunktsform zu kommen, muss man eine binomische Formel "rückwärts" anwenden. Da hierfür aber noch ein Term fehlt, wird dieser Term zunächst addiert und gleich wieder abgezogen, um den Gesamtwert nicht zu verändern.
[mm]f(x)=x^2+4x \ = \ x^2+4x \ \underbrace{+ 4-4}_{= \ 0} \ = \ \underbrace{x^2+4x+4}_{= \ \text{binomische Formel}} - 4 \ = \ (x+2)^{2}-4[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 So 05.02.2006 | | Autor: | dpk |
Hallo,
ich habe jetzt folgende Ergebnisse:
(x+2)² - 4
(x - 1,5)² - 2,25
PS: Kann ich den Term x(x [mm] \pm [/mm] Y) immer verwenden, bei solchen Aufgaben? Wie hast du das hergeleitet, darauf bin ich noch nicht gekommen...
S1(-2|-4)
S2(1,5|-2,25)
Gerade: y = 0,5x - 3
Ich hoffe das stimmt 
Gruss dpk
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 So 05.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo dpk,
ich komme auf dasselbe Ergebnis wie du! Gut gemacht!
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 So 05.02.2006 | | Autor: | dpk |
Jop, danke an euch allen ;) Yuma, hattest meinen Nick zuerst falsch geschrieben und dann umgeändert? Wie nett =)) Danke an euch allen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 So 05.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo dpk,
der Scheitelpunkt ist richtig!
Und was "das hier" soll, hat Loddar ja schon sehr schön ausgeführt!
Bestimme doch jetzt mal den Scheitelpunkt der zweiten Parabel und teil uns das Ergebnis mit...
MFG,
Yuma
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