Scheitelwert und Effektivwert < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 So 10.05.2015 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
ich habe eine kleine Verständnisfrage und hoffe, dass ihr mir dabei helfen könnte.
Der Scheitelwert (Peak) gibt ja den Wert einer Halbwelle von der Nulllinie bis zum Maximum an.
Das habe ich soweit verstanden; nun ist mir aber beim Effektivwert etwas nicht ganz klar:
Der Effektivwert (RMS) entspricht ja dem quadratischen Mittelwert der "Flächen unter den Kurven" Es gilt ja dann [mm] \wurzel{\bruch{1}{T}\integral_{0}^{T}{x^2(t)) dt}}.
[/mm]
Welche Flächen sind hierbei genau gemeint und wie ergibt sich diese? Man sieht in den Abbildungen ja immer, dass der RMS-Wert von der Nulllinie aus etwa [mm] \bruch{3}{4} [/mm] nach oben geht, aber den Scheitelwert nicht erreicht.
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 So 10.05.2015 | | Autor: | Infinit |
Hallo Dom_89,
der Effektivwert, wenn er auch eine Spannung angibt, bezieht sich auf die über den Zeitraum T in einem Signal enthaltene Leistung. Dies kannst Du erkennen an der Quadrierung des Signals. Mit Bezug auf einen Bezugswiderstand gibt diese Größe gerade die Leistung an, die durch das Signal in gerade diesem Widerstand umgesetzt wird. Durch die Wurzelbildung bekommt man dann die Aussage zum Effektivwert (der Spannung).
Durch das Quadrieren tauchen nur positive Werte auf zu jedem Zeitpunkt und somit bezieht sich dieser Wert auf die Fläche zwischen dem quadrierten Signal und der Nulllinie. Ist solch ein Signal periodisch, wie es bei einem Sinus ja der Fall ist, so langt es, diesen Wert nur für eine Periode zu berechnen.
Hier ist das klassische Beispiel für eine Sinusschwingung mit der Frequenz f, die eine Periodendauer von
[mm] T = \bruch{1}{f} [/mm] besitzt:
[mm] x (t) = a\cdot \sin(2 \pi f t) [/mm] und damit
[mm] x^2 (t) =a^2 \cdot \sin^2 (2 \pi f t) = \bruch{a^2}{2} - \bruch{a}{2} \cos(4 \pi f t) [/mm]
Wenn ich nun dieses Signal integriere zwischen den Grenzen 0 und T, so bekomme ich als unbestimmtes Integral den Ausdruck
[mm] \bruch{a^2 t}{2} - \bruch{a}{2 \cdot 4 \pi f} \sin (4 \pi f t) [/mm]
In den Grenzen zwischen 0 und T hat der Sinuswert gerade einen Wert von 0 und übrig bleibt
[mm] \bruch{a^2 T}{2}[/mm]
Das T verschwindet, da wir durch diesen Wert dividieren und übrig bleibt als Effektivwert
[mm] x_{eff} = \bruch{a}{\wurzel{2}} [/mm]
Spitzenwert und Effektivwert stimmen nur im Fall eines Gleichstroms oder einer Gleichspannung überein, das ist aber ja auch kein Wunder, denn gerade deswegen hat man ja den Effektivwert so definiert. Es geht um die umgesetzte Leistung eines zeitabhängigen Signals in einem Widerstand im Vergleich zu einem nicht-zeitabhängigen Signal, also einer Gleichgröße.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 10.05.2015 | | Autor: | isi1 |
>> Spitzenwert und Effektivwert stimmen nur im Fall eines Gleichstroms
>> oder einer Gleichspannung überein ...
Sollte man nicht z.B. eine symmetrische Rechteckspannung auch dazu rechnen?
Herzlich, isi
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ja, damit hast du recht, sofern die Rechteckspannung symmetrisch ist, also zwischen dem gleichen positiven wie negativen Spitzenwert wechselt.
ABER:
Bei einer Sinusspannung geht man automatisch davon aus, daß sie symmetrisch ist. Bei einem Rechteck-Signal nicht zwangsläufig, denn das kommt häufiger in der Digitalelektronik vor, und ist da eher ein "Spannung an - Spannung aus". In dem Fall ist die Effektivspannung [mm] \sqrt{\alpha} [/mm] der Spitzenspannung , wobei [mm] \alpha [/mm] das Tastverhältnis, also Verhältnis der Zeit, in der die Spannung an ist zur Periode ist.
Ansonsten kommen Effektivwerte fast ausschließlich im Zusammenhang mit Sinus-Spannung vor, bei anderen Spannungsformen ist das eher unüblich.
Und nachdem ich deine Frage nochmal lese: Per Definition gilt, daß die Effektivspannung diejenige Gleichspannung ist, welche an einem ohmschen Widerstand zu der gleichen mittleren (effektiven) Leistung führt, wie die betrachtete Spannung.
Damit sind Effektiv- und Spitzenwert bei ner symmetrischen Rechteckspannung zwar gleich, aber per Definition gibt es nen Unterschied.
|
|
|
|
