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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Di 16.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 7.6.
Sei [mm] $v_{1}=\vektor{1\\2}$ [/mm] und [mm] v_{2}=\vektor{-2\\1}$ [/mm] und sei a >0 fest gewählt. Die lineare Abbildung [mm] $L:\IR^{2} \rightarrow \IR^{2}$ [/mm] sei definiert durch die Vorschrift [mm] $L(v_{1})=v_{1}$ [/mm] und [mm] $L(v_{2})=v_{2}+av_{1}$
[/mm]
a) Wie lautet die Matrix von L bezogen auf die Basis [mm] ($v_{1},v_{2})$
[/mm]
b) Es sollen zu [mm] $v=\vektor{x\\y} \in \IR^{2}$ [/mm] die passenden [mm] $\alpha, \beta \in \IR [/mm] mit v [mm] =\alpha v_{1} [/mm] + [mm] \beta v_{2} [/mm] gefunden werden. Zusätzlich soll L auf v ausgewertet und die Matrix daran abgelesen werden, welche L bezogen auf die kanonische Basis beschreibt.
c) Die Matrix von L bezogen auf die kanonische Basis soll nun mit Hilfe der Transformationsmatrix des Basiswechsels berechnet werden |
Hallo!
Es handelt sich hier um eine sehr ähnliche Aufgabe zu einer bereits gestellten.
Vergleiche hierzu mit diesem Thread: https://matheraum.de/read?i=730896
a) [mm] \vektor{1&a\\0&1}
[/mm]
b) Hier verstehe ich nicht !
Soll ich:
[mm] $\vektor{x\\y}$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $v_{1}$ [/mm] und [mm] $v_{2}$ [/mm] schreiben?
[mm] $\vektor{x\\y}= \alpha v_{1} [/mm] + [mm] \beta v_{2}$
[/mm]
das ergibt doch dann eingesetzt :
[mm] $v=\vektor{\alpha-2\beta\\ 2\alpha +\beta}$
[/mm]
Aber die Vorschrift kenne ich für diesen Vektor nicht also kann ich auch kein Bild bestimmen...?
c) [mm] $D^{E}_{E}=T^{L}_{E} \cdot D^{L}_{L} \cdot T^{E}_{L}$ [/mm] einsetzen...
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt und bin für jeden Hinweis dankbar.
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> 7.6.
> Sei [mm]v_{1}=\vektor{1\\
2}[/mm][/mm] und [mm]v_{2}=\vektor{-2\\
1}$[/mm] und sei
> a >0 fest gewählt. Die lineare Abbildung [mm]L:\IR^{2} \rightarrow \IR^{2}[/mm][/mm]
> sei definiert durch die Vorschrift [mm]L(v_{1})=v_{1}[/mm][/mm] und
> [mm]L(v_{2})=v_{2}+av_{1}[/mm][/mm]
>
> a) Wie lautet die Matrix von L bezogen auf die Basis
> ([mm]v_{1},v_{2})[/mm]
>
> b) Es sollen zu [mm]v=\vektor{x\\
y} \in \IR^{2}[/mm][/mm] die passenden
> [mm]$\alpha, \beta \in \IR[/mm] mit v [mm]=\alpha v_{1}[/mm] + [mm]\beta v_{2}[/mm]
> gefunden werden. Zusätzlich soll L auf v ausgewertet und
> die Matrix daran abgelesen werden, welche L bezogen auf die
> kanonische Basis beschreibt.
>
>
> c) Die Matrix von L bezogen auf die kanonische Basis soll
> nun mit Hilfe der Transformationsmatrix des Basiswechsels
> berechnet werden
> Hallo!
>
> Es handelt sich hier um eine sehr ähnliche Aufgabe zu
> einer bereits gestellten.
> Vergleiche hierzu mit diesem Thread:
> https://matheraum.de/read?i=730896
>
> a) [mm]\vektor{1&a\\
0&1}[/mm]
Hallo,
die Matrix [mm] L^B_B [/mm] hast Du richtig aufgestellt. [mm] (B:=(v_1 v_2)).
[/mm]
>
> b) Hier verstehe ich nicht !
>
> Soll ich:
>
> [mm]\vektor{x\\
y}[/mm] als Linearkombination von [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm]
> schreiben?
Ja, genau.
>
> [mm]\vektor{x\\
y}= \alpha v_{1} + \beta v_{2}[/mm]
>
> das ergibt doch dann eingesetzt :
>
> [mm]v=\vektor{\alpha-2\beta\\
2\alpha +\beta}[/mm],
also [mm] \vektor{x\\y}=$\vektor{\alpha-2\beta\\ 2\alpha +\beta}$.
[/mm]
Jetzt drücke [mm] \aplha [/mm] und [mm] \beta [/mm] in Abhängigkeit von x und y aus.
(Wenn's Dir unheimlch ist: wwas würdet Du denn macen, wenn Du [mm] \vektor{17\\123} [/mm] also Linearkombinaion von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] schreiben solltest?)
>
> Aber die Vorschrift kenne ich für diesen Vektor nicht also
> kann ich auch kein Bild bestimmen...?
Doch. Wenn Du ihn dann als Linearkombination von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] hast, kannst Du sein Bild sehr gut bestimmen, indem Du die Linearität von L nutzt.
Es ist doch [mm] L(\alphav_1+\beta v_2)= [/mm] ...
> c) [mm]D^{E}_{E}=T^{L}_{E} \cdot D^{L}_{L} \cdot T^{E}_{L}[/mm]
> einsetzen...
Ich sehe hier in der Aufgabe zwar kein D, und L ist hier eine Abbildung und keine Basis - aber Du meinst es sicher gut und vielleicht sogar richtig.
Das kann man entscheiden, wenn man die wesentlichen Teile wirklich ausgeführt sieht.
Gruß v. Angela
>
>
> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jeden Hinweis dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Do 18.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> Jetzt drücke $ [mm] \alpha [/mm] $ und $ [mm] \beta [/mm] $ in Abhängigkeit von x und y aus.
[mm] $\alpha=x+2\beta$
[/mm]
[mm] $\beta=y-2\alpha$
[/mm]
Und die Abbildung ist [mm] $L(\alpha v_{1} [/mm] + [mm] \beta v_{2})= \alpha L(v_{1})+\beta L(v_{2})$
[/mm]
aber wie und wo kann ich da jetzt eine Matrix ablesen (???)
> Ich sehe hier in der Aufgabe zwar kein D, und L ist hier eine Abbildung > > und keine Basis - aber Du meinst es sicher gut und vielleicht sogar > > > > richtig.
> Das kann man entscheiden, wenn man die wesentlichen Teile wirklich > > ausgeführt sieht.
[mm] $L^{E}_{E}=\vektor{1&-2\\2&1} \cdot \vektor{1&a\\0&1} \cdot \frac{1}{5} \vektor{1&2\\-2&1}$
[/mm]
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 20.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Sa 20.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> Falls du weiterhin an einer Antwort interessiert bist
ja
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> > Jetzt drücke [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] in Abhängigkeit von x und y
> aus.
>
>
> [mm]\alpha=x+2\beta[/mm]
> [mm]\beta=y-2\alpha[/mm]
Hallo,
wenn Du [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] in Abhängigkeit von x und y ausdrücken sollst, dann dürfen rechts der Gleichheitszeichen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] nicht mehr vorkommen, sondern nur Ausdrücke mit x und y.
>
> Und die Abbildung ist [mm]L(\alpha v_{1} + \beta v_{2})= \alpha L(v_{1})+\beta L(v_{2})[/mm]
Ja, genau.
>
> aber wie und wo kann ich da jetzt eine Matrix ablesen (???)
Später, wenn Du die richtigen Koeffizienten hast, wird das gelingen.
Du kannst dann [mm] L(e_i), [/mm] i=1,2 berechnen und kennst damit die erste und zweite Spalte Deiner Matrix.
>
> > Ich sehe hier in der Aufgabe zwar kein D, und L ist hier
> eine Abbildung > > und keine Basis - aber Du meinst es
> sicher gut und vielleicht sogar > > > > richtig.
> > Das kann man entscheiden, wenn man die wesentlichen
> Teile wirklich > > ausgeführt sieht.
>
> [mm]L^{E}_{E}=\vektor{1&-2\\
2&1} \cdot \vektor{1&a\\
0&1} \cdot \frac{1}{5} \vektor{1&2\\
-2&1}[/mm]
Richtig.
Gruß v. Angela
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>
>
> Danke
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 21.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> wenn Du und in Abhängigkeit von x und y ausdrücken sollst, dann dürfen > > > rechts der Gleichheitszeichen und nicht mehr vorkommen, sondern nur > > > > Ausdrücke mit x und y.
Die alpha und betas kriegt man aber nicht weg...
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> > wenn Du und in Abhängigkeit von x und y ausdrücken
> sollst, dann dürfen > > > rechts der Gleichheitszeichen
> und nicht mehr vorkommen, sondern nur > > > > Ausdrücke
> mit x und y.
>
> Die alpha und betas kriegt man aber nicht weg...
>
Hallo,
ich meine schon, daß man die wegbekommt.
Du hast doch hier ein LGS zu lösen mit den Variablen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta.
[/mm]
Dafür wirst Du doch irgendein Verfahren kennen.
Wenn's nicht klappt, rechne mal vor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 So 21.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich habe mit dem Substitutionsverfahren
[mm] $\frac{2}{3}x=\frac{-4}{3}y$ [/mm] rausbekommen... wie benutze ich dieses Verhältnis jetzt?
Danke
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> Ich habe mit dem Substitutionsverfahren
>
> [mm]\frac{2}{3}x=\frac{-4}{3}y[/mm] rausbekommen... wie benutze ich
> dieses Verhältnis jetzt?
Hallo,
es ginge hier entschieden schneller vorwärts, wenn Du Dich doch entschließen könntest, manches mal vorzurechnen. Was für ein Eiertanz um eine Gleichung mit 2 Variablen, die man in Klasse 9 bereits löst!
Aber - naja, lassen wir das...
Du brauchst hier kein Verhältnis, und ich weiß auch nicht, wo es herkommt. Du wolltest oder solltest doch [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ausrechnen.
Wenn ich Dir nicht gerne helfen wollte, hätte ich mich längst verabschiedet, aber Du machst es einem wirklich schwer.
Wie kann ich Dir zeigen, wo etwas schiefläuft, wenn Du nicht zeigst, was Du machst?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:38 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> > Ich habe mit dem Substitutionsverfahren
> >
> > [mm]\frac{2}{3}x=\frac{-4}{3}y[/mm] rausbekommen... wie benutze ich
> > dieses Verhältnis jetzt?
>
> Hallo,
>
> es ginge hier entschieden schneller vorwärts, wenn Du Dich
> doch entschließen könntest, manches mal vorzurechnen. Was
> für ein Eiertanz um eine Gleichung mit 2 Variablen, die
> man in Klasse 9 bereits löst!
Guten morgen Angela,
sei doch gnädig. Er ist doch erst in Klasse 1 der Grundschule ·
Gruß FRED
> Aber - naja, lassen wir das...
>
> Du brauchst hier kein Verhältnis, und ich weiß auch
> nicht, wo es herkommt. Du wolltest oder solltest doch
> [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] ausrechnen.
> Wenn ich Dir nicht gerne helfen wollte, hätte ich mich
> längst verabschiedet, aber Du machst es einem wirklich
> schwer.
> Wie kann ich Dir zeigen, wo etwas schiefläuft, wenn Du
> nicht zeigst, was Du machst?
>
> Gruß v. Angela
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Mo 22.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Die Ausgangsgleichungen sind:
[mm] $\beta=y-2\alpha$
[/mm]
[mm] $\alpha=2\beta-x$ [/mm]
Jetzt setze ich die eine Gleichung in die andere ein:
[mm] $\beta [/mm] = [mm] y-2\beta+x$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow 3\beta [/mm] = y+x$
[mm] $\Rightarrow \beta=\frac{y+x}{3}$
[/mm]
Und jetzt setze ich das [mm] $\beta$ [/mm] in die andere Gleichung ein:
[mm] $\alpha=2\frac{y+x}{3}-x$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \alpha=\frac{2}{3}y [/mm] - [mm] \frac{1}{3}x$ [/mm]
So, und wie bekomme ich jetzt eine Gleichung ohne alpha und beta auf beiden Seiten sondern nur mit x und y....
Danke!
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> Die Ausgangsgleichungen sind:
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> [mm]\beta=y-2\alpha[/mm]
> [mm]\alpha=2\beta-x[/mm]
>
> Jetzt setze ich die eine Gleichung in die andere ein:
>
> [mm]\beta = y-2\beta+x[/mm]
> [mm]\Rightarrow 3\beta = y+x[/mm]
> [mm]\Rightarrow \beta=\frac{y+x}{3}[/mm]
>
> Und jetzt setze ich das [mm]\beta[/mm] in die andere Gleichung ein:
>
> [mm]\alpha=2\frac{y+x}{3}-x[/mm]
> [mm]\Rightarrow \alpha=\frac{2}{3}y - \frac{1}{3}x[/mm]
>
>
> So, und wie bekomme ich jetzt eine Gleichung ohne alpha und
> beta auf beiden Seiten sondern nur mit x und y....
>
Hallo,
na also, geht doch!
Allerdings bekomme ich etwas andere Ergebnisse, weil meine Startgleichungen andere sind, nämlich
[mm] x=\alpha -2\beta
[/mm]
[mm] y=2\alpha+\beta.
[/mm]
In Deinem Eingangspost waren Deine auch noch so.
Wie's dann weitergeht, hatten wir ja schon besprochen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Mo 22.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich komme auf dasselbe wie mit der Transformationsformel also stimmt es!
Danke angela!
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