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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:57 Do 05.07.2007 | | Autor: | Kroni |
| Aufgabe | Bei dem skizzierten Billard-Stoß steht die Richtung der einlaufenden Kugel senkrecht auf der Verbindungslinie der beiden angespielten Kugeln, die sich berühren. Die einlaufende Kugel treffe diese beiden Kugeln gleichzeitig.
Die Kugeln seien ideal glatt, so dass beim Stoß nur eine Kraft entlang der Verbindungslinie der Kugelmittelpunkte übertragen werde.
Wegen der Symmetrie des Problems sind die Ablenkwinkel gleich, d.h. [mm] \Theta_1 [/mm] = [mm] \Theta_2.
[/mm]
Wie groß ist [mm] \Theta [/mm] ?
Berücksichtigen Sie die Prinzipien der Energie- und Impulserhaltung und bestimmen Sie die Endgeschwindigkeit der drei Kugeln.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi,
Ich habe eine Frage zu den Endgeschwindigkeiten, wie ich diese Bekomme.
Den gesuchten Winkel [mm] \Theta [/mm] habe ich durch folgende Überlegung erhalten:
Wenn sich die zunächst bewegende Kugel mit [mm] v_{1a} [/mm] bewegt, und dann gleichzeitg auf die beiden Kugel trifft, gilt folgendes:
Die Kugeln treffen sich, also muss der Abstand der beiden Mittelpunkt der Kugel 2r betragen.
Die Kugel, die sich zunächst bewegt, habe die Koordinaten K1(x;0), die zweite Kugel, die oben liegt, habe die Koordinaten K2(0;r), die dritte, untere Kugel entsprechend K3(0;-r).
Nun muss gelten: Die Verbindungslinie der beiden Punkte K1 und K2 (oder analog K1-K3) muss 2r sein:
[mm] $(2r)^2=x^2+r^2 \gdw 3r^2=x^2 \gdw x=\sqrt{3}r$
[/mm]
Jetzt gilt für den Winkel [mm] $\Theta$: $\tan\Theta=\frac{r}{\sqrt{3}r} \gdw \Theta=30°$
[/mm]
Das stimmt auch mit der Lösung überein.
(Nebenbei: Gibt es hier einen anderen Ansatz um den Winkel zu bestimmen?)
Nun zu den Geschwindigkeiten:
Da es sich hier ja um ein zweidimensionales Problem handelt, kann man das nicht einfach mit den Geschwindigkeitn machen, wie ich das in der Schule gelernt habe.
Ich habe gelesen, dass der Implus eine vektorielle Größe ist.
Jetzt habe ich folgende Geschwindigkeiten definiert:
[mm] $\vec{v_{1a}}=\pmat{v_{1ax}\\0}$ [/mm] : Geschwindigkeit der Kugel vor dem Stoß
[mm] $\vec{v_{1e}}=\pmat{-v_{1ex}\\0}$ [/mm] : Geschwindigkeit der stoßenden Kugel nach dem Stoß
[mm] $\vec{v_{2e}}=\pmat{v_{2x}\\v_{2y}}$ [/mm] : Gkeit der oberen Kugel nach dem Stoß
[mm] $\vec{v_{3e}}=\pmat{v_{3x}\\v_{3y}}$ [/mm] : Gkeit der untern Kugeln nach dem Stoß, Betragsmäßig gleich [mm] v_2.
[/mm]
Nun kann ich die Energieerhaltungssätze aufstellen:
EES:
[mm] $v_{1a}^2=v_{1e}^2+v_{2e}^2+v_{3e}^2$ [/mm] (die Masse und die 0.5 kürzt sich ja raus, weil m überall gleich ist).
IES:
[mm] $\vec{v_{1a}}=\vec{v_{1e}}+\vec{v_{2e}}+\vec{v_{3e}}$
[/mm]
Den kann ich jetzt umschreiben, indem ich die Vektorschreibweise benutze, und indem ich sage: [mm] $v_{2x}=v_{3x}$ [/mm] :
[mm] $\vmat{v_{1ax}=-v_{1ex}+v_{2x}+v_{3x} \\ v_{3y}=-v_{2y}}$
[/mm]
Die untere Zeile war ja schon eigentlich klar, dass auch die y-Komponenten gleich sind, nur in die andere Richtung zeigen.
Gut, jetzt habe ich versucht den EES, indem ja die Beträge der Geschwindigkeiten stehen, mit Hilfe der Vektoren auszudrücken, indem ich die Beträge der Vektoren gebildet habe, und dabei kam dann folgendes heraus:
[mm] $v_{1ax}^2=v_{1ex}^2+2(v_{2x}^2+v_{2y}^2)$
[/mm]
Dann habe ich versucht, den IES nach [mm] $v_{1ex}^2$ [/mm] aufzulösen, und den dann in den EES oben einzustezen.
Die Lösung sagt folgendes:
[mm] $v_{1e}=v_{1a}\frac{1-2\cos^2\Theta}{1+2\cos^2\Theta}$
[/mm]
und
[mm] $v_{2e}=v_{1a}\frac{2cos\Theta}{1+2\cos^2\Theta}$
[/mm]
EDIT: Noch ne Sache, die ich bisher nicht beachtet habe:
Ich kann ja den Geschwindigkeitsbetrag "umwandeln":
[mm] $v_{2x}=v_2\cdot\cos\Theta$
[/mm]
Mal sehen, ob ich damit weiterkomme?
EDIT2: Ja, damit komme ich wohl weiter, wie ich das gesehen habe.
Mir fehlt jetzt nur noch irgendwo im Nenner die 2 vor dem [mm] $\cos^2$, [/mm] aber ich werde die Sache nochmal nachrechnen.
EDIT3: Jip, hab es herausbekommen=)
Jetzt nur noch eine Frage: Gibt es einen einfacheren Weg, oder ist das der einzige Weg, den man gehen kann (vom Gedanken her).
LG
Kroni
*freu*
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Fr 06.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kroni
insgesamt gut und richtig gelöst.
1. zum Winkel: die 3 Mittelpunkte bilden beim Stoss ein gleichseitiges Dreieck, daraus folgt auch ohne Pythagoras [mm] v_y=1/2v [/mm] für die rechten Kugeln, also [mm] v_y=0,5v, v_x=0,5\wurzel{3}v [/mm] für die 2 rechten Kugeln. daraus die 30° als halber winkel im gleichseitigen Dreieck. keine Kenntnis von trigonometrie benutzt.
Den Impulssatz kann man so schreiben: die Bewegung des Schwerpunktes bleibt erhalten! dieser bewegt sich vor dem Stoss mit [mm] v_0/3 [/mm] in x-Richtung also auch nach dem Stoss.
dadurch hat man die Summe der x Geschwindigkeiten nach dem Stoss.
Du solltest das selbst mal mit dem Schwerpunktsatz durchrechnen, wenn du Lust hast. Die meisten Stossexperimente (ohne Drehung) werden dadurch vereinfacht.
Ob dus dann einfacher findest musst du selbst entscheiden, anfangs ist es ungewöhnlich immer alles von S aus zu betrachten.
(Noch ne kleine Zusatzbemerkung, du solltest, wenn du mit Vektoren rechnest die (richtig) vermuteten Richtungen nicht mit reingeben, sondern einfach [mm] v1_e [/mm] eintragen, das Vorzeichen muss sich aus der Rechnung ergeben, bei anderen massenverhältnissen wüsstest du es ja auch nicht vorher)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
danke für deine Antwort=)
Ich kenne den Schwerpunktsatz bisher nicht, aber ich werde mir den mal ansehen und versuchen zu verstehen.
Das mit dem - vor der Geschwindigkeit werd ich mal beim nächsten Durchrechnen weglassen, hast in dem Sinne schon recht, dass das dabei rauskommen muss.
LG
Kroni
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