Schiefsym. Matrix -> nichttriv < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Fr 15.04.2011 | | Autor: | UNR8D |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Gleichung Ax=0 mit einer schiefsymmetrischen Matrix A [mm] \in M(3\times3, \IR), [/mm] die verschieden von der Nullmatrix ist, eine nicht-triviale Lösung x [mm] \in \IR^3 [/mm] besitzt |
Hi,
ich habe mir zwar überlegt wie [mm] (A+A^T)x=0 [/mm] aussieht, aber ich weiß leider nicht wie ich hier weiterkomme.
Führe mich mal bitte jemand auf den richtigen Weg :)
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> Zeigen Sie, dass die Gleichung Ax=0 mit einer
> schiefsymmetrischen Matrix A [mm]\in M(3\times3, \IR),[/mm] die
> verschieden von der Nullmatrix ist, eine nicht-triviale
> Lösung x [mm]\in \IR^3[/mm] besitzt
Hallo,
dies ist der Fall, wenn detA=0.
Du könntest also versuchen, die Determinante von A herauszubekommen.
Was bedeutet schiefsymmetrisch?
Was weißt Du über die Determinanten von A und [mm] A^{T}?
[/mm]
Hiermit lasse ich es erstmal bewenden. Sonst macht's keinen Spaß mehr.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Fr 15.04.2011 | | Autor: | UNR8D |
Hi,
schiefsymmetrisch bedeutet [mm] A=-A^T, [/mm] das ist klar.
Leider weiß ich aber offiziell noch nichts über Determinanten und darf sie nicht verwenden :(.
Würden wohl wirklich vieles einfacher machen bei den Aufgaben mit denen ich mich zur Zeit abgeben darf.
Wie könnte man da anders herangehen?
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Hallo UNR8D,
> Hi,
> schiefsymmetrisch bedeutet [mm]A=-A^T,[/mm] das ist klar.
> Leider weiß ich aber offiziell noch nichts über
> Determinanten und darf sie nicht verwenden :(.
> Würden wohl wirklich vieles einfacher machen bei den
> Aufgaben mit denen ich mich zur Zeit abgeben darf.
>
> Wie könnte man da anders herangehen?
Zum Beispiel kannst Du die Gleichung komponentenweise aufschreiben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Fr 15.04.2011 | | Autor: | UNR8D |
Irgendwo muss ich nen ganz doofen Hänger drin haben.
also [mm] Ax=0=-A^T [/mm] x
damit [mm] (A+A^T)x=0
[/mm]
es sind sicher [mm] a_{11} [/mm] = [mm] a_{22} [/mm] = [mm] a_{33} [/mm] = 0
stelle ich jetzt die 3 Gleichungen auf, addiere sie und ordne nach den Komponenten komme ich auf folgende Form:
[mm] a_{12}(x_{1}+x_{2})+a_{13}(x_{1}+x_{3})+a_{21}(x_{1}+x_{2})+a_{23}(x_{2}+x_{3})+a_{31}(x_{1}+x_{3})+a_{32}(x_{2}+x_{3})=0
[/mm]
Also letztlich auf
[mm] x_{1}=-x_{2}
[/mm]
[mm] x_{1}=-x_{3}
[/mm]
[mm] x_{2}=-x_{3}
[/mm]
=> [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=0
[/mm]
und das ist genau das Gegenteil dessen was ich zeigen soll.
Der Fehler ist mit Sicherheit ziemlich dumm, aber der Tag war einfach schon zu lang und ich sehe mittlerweile gar nix mehr. Zeigt mir mal bitte was ich für nen Mist gebaut habe ;)
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Hallo UNR8D,
> Irgendwo muss ich nen ganz doofen Hänger drin haben.
>
> also [mm]Ax=0=-A^T[/mm] x
> damit [mm](A+A^T)x=0[/mm]
> es sind sicher [mm]a_{11}[/mm] = [mm]a_{22}[/mm] = [mm]a_{33}[/mm] = 0
>
> stelle ich jetzt die 3 Gleichungen auf, addiere sie und
> ordne nach den Komponenten komme ich auf folgende Form:
>
> [mm]a_{12}(x_{1}+x_{2})+a_{13}(x_{1}+x_{3})+a_{21}(x_{1}+x_{2})+a_{23}(x_{2}+x_{3})+a_{31}(x_{1}+x_{3})+a_{32}(x_{2}+x_{3})=0[/mm]
>
> Also letztlich auf
> [mm]x_{1}=-x_{2}[/mm]
> [mm]x_{1}=-x_{3}[/mm]
> [mm]x_{2}=-x_{3}[/mm]
> => [mm]x_{1}=x_{2}=x_{3}=0[/mm]
>
> und das ist genau das Gegenteil dessen was ich zeigen
> soll.
> Der Fehler ist mit Sicherheit ziemlich dumm, aber der Tag
> war einfach schon zu lang und ich sehe mittlerweile gar nix
> mehr. Zeigt mir mal bitte was ich für nen Mist gebaut habe
> ;)
>
Wenn A schiefsymmetrisch ist, dann sieht die Matrix so aus:
[mm]\pmat{0 & \blue{...} & \blue{...} \\ \blue{...} & 0 & \blue{...} \\ \blue{...} & \blue{...} & 0}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Fr 15.04.2011 | | Autor: | UNR8D |
Das habe ich in meinem letzten Beitrag auch festgestellt
> Es sind sicher : [mm] a_{11}=a_{22}=a_{33}=0
[/mm]
Ich habe das ganze gerade nochmal anders durchgerechnet und bin schon wieder zum Ergebnis [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0 gekommen.
Das kann doch nicht wahr sein xD
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Hallo UNR8D,
> Das habe ich in meinem letzten Beitrag auch festgestellt
> > Es sind sicher : [mm]a_{11}=a_{22}=a_{33}=0[/mm]
>
> Ich habe das ganze gerade nochmal anders durchgerechnet und
> bin schon wieder zum Ergebnis [mm]x_1[/mm] = [mm]x_2[/mm] = [mm]x_3[/mm] = 0
> gekommen.
Dann poste doch Deine Rechenschritte dazu.
Offenbar hast Du die Matrix A nicht richtig aufgestellt.
> Das kann doch nicht wahr sein xD
Gruss
MathePower
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:00 Fr 15.04.2011 | | Autor: | UNR8D |
[mm] \pmat{ 0 & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & a_{12} & a_{13} \\ -a_{12} & 0 & a_{23} \\ -a_{13} & -a_{23} & 0}
[/mm]
Addiere ich die Zeilen und löse Nach den Komponenten auf ergibt sich
[mm] a_{12}(x_2-x_1) [/mm] + [mm] a_{13}(x_3-x_1) [/mm] + [mm] a_{23}(x_3-x_2)=0
[/mm]
Möchte ich nun alle Klammern 0 werden lassen ergibt sich nur [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] x_3 [/mm] = 0
Wo liegt der Fehler?
Ich bin überzeugt davon, dass ich erstmal furchtbar lachen muss wenn ich diese Aufgabe endlich erledigt habe ;o
edit:
Hat sich erledigt :)
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