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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Sei [mm] A\in M(n×n,\IR) [/mm] schiefsymmetrisch (d. h. es gilt [mm] A^T [/mm] = −A), und sei Rang(A) ungerade. Zeigen Sie, dass det(A) = 0 ist. |
Ich habe mir überlegt:
Schiefsymetrisch bedeutet, dass für [mm] a_{ij}\in [/mm] A , [mm] i,j\in(1,2,3,...,n) a_{ij}=-a_{ji} [/mm] für [mm] i\not=j, [/mm] wenn gilt dass [mm] A^T=-A [/mm] dann muss die Hauptdiagonale nur 0en enthalten. Da 0 die einzige Zahl ist für die gilt +0=-0 und die Hauptdiagonale bei der Transposition erhalten bleibt.
Stimmt das soweit? Und wie gehe ich hier weiter vor? inwiefern hilft mir der ungerade Rang?
Ich habe diese Frage auf keinem andern Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei [mm]A\in M(n×n,\IR)[/mm] schiefsymmetrisch (d. h. es gilt [mm]A^T[/mm] =
> −A), und sei Rang(A) ungerade. Zeigen Sie, dass
> det(A) = 0 ist.
> Ich habe mir überlegt:
> Schiefsymetrisch bedeutet, dass für [mm]a_{ij}\in[/mm] A ,
> [mm]i,j\in(1,2,3,...,n) a_{ij}=-a_{ji}[/mm] für [mm]i\not=j,[/mm] wenn gilt
> dass [mm]A^T=-A[/mm] dann muss die Hauptdiagonale nur 0en enthalten.
> Da 0 die einzige Zahl ist für die gilt +0=-0 und die
> Hauptdiagonale bei der Transposition erhalten bleibt.
>
> Stimmt das soweit?
Ich denke schon.
> Und wie gehe ich hier weiter vor?
Wie wärs mit folgendem: einerseits gilt (allgemein), dass
[mm]\det(A^T)=\det(A)[/mm]
andererseits ist aber auch (wegen der Antisymmetrie von [mm]A[/mm]):
[mm]\det(A^T)=\det(-A)[/mm]
> inwiefern hilft mir der ungerade Rang?
Das frage ich mich auch gerade. - Ahem, warte mal! ... vielleicht um zeigen zu können, dass gilt
[mm]\det(-A)=-\det(A)[/mm]
Damit haben wir alles beisammen: [mm]\det(A)=-\det(A)\Rightarrow \det(A)=0[/mm]
Nun musst Du es nur noch schön hinschreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay ... vielen Dank :)
Eine Frage habe ich allerdings noch .... wie kann ich beweisen, dass det(-A)=-det(A) falls der Rang von A ungerade ist?
Gruß Zerwas
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> Okay ... vielen Dank :)
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> Eine Frage habe ich allerdings noch .... wie kann ich
> beweisen, dass det(-A)=-det(A) falls der Rang von A
> ungerade ist?
[mm]-A[/mm] ist die Matrix [mm]A[/mm] mit einem Faktor [mm](-1)[/mm] auf jeden Spaltenvektor angewandt. Also kannst Du, wegen der Multilinearität der Determinantenfunktion, insgesamt [mm]n=\text{Rang}(A)[/mm]-mal einen Faktor [mm](-1)[/mm] vor die Determinante ziehen:
[mm]\det(-A)=(-1)^n\cdot \det(A)[/mm]
ist also [mm]n[/mm] ungerade, so folgt, wie gewünscht: [mm]\det(-A)=-\det(A)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Sa 30.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Ahh okay ... klar ... vielen dank :)
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