Schittfläche zweier Parabeln < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Do 13.05.2004 | | Autor: | ramon8 |
Hi, meine Aufgabe für's Mathereferat:
f1(x)=x² und f2(x)=-x²+6 die zwei Parabeln schließen eine Fläche ein.
In diese Fläche wird ein Rechteck gelegt, so dass die Rechteckseiten parallel zu den Achsen des Koordinatensystems verlaufen. Welche Koordinaten müssen die Eckpunkte des Rechtecks haben, damit der Flächeninhalt des Rechtecks möglichst groß wird?
Ich hab's probiert grafisch am CAD zu lösen (siehe Lösungsvorschlag) aber wie kann ich's mathematisch beweisen ob es stimmt oder nicht??
(Mein Lösungsvorschlag P1(-1/1) P2(1/1) P3(5/1) P4(-1/5) --> Fläche wäre dann 2x4=8)
DANKE für eure Hilfe
ramon8
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Do 13.05.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Wenn Du Cad benutzt hast, müsstest Du ja gesehen haben, dass die
beiden Parabeln zu zwei Spiegelachsen symmetrisch sind, einmal zur
y-Achse, einmal zur Achse [mm] f(x) = 3[/mm]für alle [mm]x \in \IR[/mm].
Damit kann man das Problem sehr vereinfachen auf das Intervall [mm][0,\wurzel{3}][/mm].
[mm] \wurzel{3} [/mm] kann man leicht als eine Schnittstelle der Parabeln ausmachen.
Damit ist nurnoch zu lösen, wann [mm]x * (3 - f1(x))[/mm], also der Flächeninhalt
des Rechtecks, das von einem Punkt auf der Parabel mit den Symmetrieachsen
erzeugt wird, maximal ist.
Dann musst Du noch x und -x in beide Gleichungen einsetzen, um die
Koordinaten der entgültigen Punkte des Rechtecks zu bekommen.
Ich hoffe, ich habe Dich nicht mehr verwirrt, als geholfen zu haben ^^
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 13.05.2004 | | Autor: | ramon8 |
Hi Du, danke schon mal für die schnelle Antwort.
... aber ich blick noch nicht ganz durch. Also die Schnittpunkte der Parabeln hab ich auch so rausbekommen. Daraus ergibt sich dann die von Dir genannte Spiegelachse. Aber wie beweise ich das an den von mir genannen Punkten wirklich die maximale Fläche ist?
Wenn ich in deine Formel einsetze A=x . (3-f1(x)) ergibt sich die maximale Fläche bei einem x Wert von 1, oder?
Wie kommst du auf die Formel?
Danke Gruss ramon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:28 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo ramon8 und AT-Colt,
willkommen ihr beide im MatheRaum  !
> ... aber ich blick noch nicht ganz durch. Also die
> Schnittpunkte der Parabeln hab ich auch so rausbekommen.
> Daraus ergibt sich dann die von Dir genannte Spiegelachse.
> Aber wie beweise ich das an den von mir genannen Punkten
> wirklich die maximale Fläche ist?
Nochmal zur Klarstellung, es dir aber vielleicht klar: Es kommt nicht auf die Symmetrie der Parabeln zueinander an, sondern auf die daraus resultierende Symmetrie des Rechtecks. Es zerfällt bei jeder Wahl der Eckpunkte auf den Parabeln durch die x-Achse und die Gerade y=3 in vier gleich große Teile, weswegen es ausreichend ist, nur ein viertel des Rechtecks zu betrachten.
> Wenn ich in deine Formel einsetze A=x . (3-f1(x)) ergibt
> sich die maximale Fläche bei einem x Wert von 1, oder?
>
> Wie kommst du auf die Formel?
Zur Veranschaulichung habe ich mal eine Grafik mit ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot angefertigt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Jetzt stelle dir vor, die senkrechte orange Linie würde man zwischen den x-Werten $x=0$ und [mm] $x=\wurzel{3}$ [/mm] verschieben. Für jede solche Wahl ergibt sich ein Rechteck, in der Skizze oben türkis gekennzeichnet.
Für den Flächeninhalt gilt, wenn die senkrechte Linie an der Position $x$ steht:
Breite des Rechtecks: $x$
Höhe Rechtecks: [mm] $3-f_1(x)=3-x^2$
[/mm]
Der Fächeninhalt beträgt also: [mm] $A(x)=x*(3-x^2)$ [/mm] (siehe AT-Colts Lösung).
Nun zu deiner wahrscheinlich eigentlichen Frage.
Für den Flächeninhalt $A(x)$ suchen wir ja denjenigen Wert für $x$, so dass $A(x)$ maximal ist. Dafür sind die Mittel der Differenzialrechnung wie geschaffen.
a) 1. Ableitung bilden und gleich Null setzen.
b) 2. Ableitung bilden und Nullstellen der 1. Ableitung einsetzen
c) Ergibt sich bei b) ein Wert kleiner Null, so haben wir ein Maximum gefunden.
Also:
a) [mm] $A'(x)=3-3x^2$
[/mm]
[mm] $A'(x)\stackrel{!}{=}0$
[/mm]
[mm] $\gdw 3-3x^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw 3=3x^2$
[/mm]
[mm] $\gdw 1=x^2$
[/mm]
[mm] $\gdw x_1=1\ \vee\ x_2=-1$
[/mm]
Nun ist die zweite Lösung für unser Rechteck nicht relevant; interessant ist nur die Lösung $x=1$
b) $A''(x)=-6x$
$A''(1)=-6$
c) Bei b) ergab sich ein Wert kleiner Null, also ist an der Stelle $x=1$ das Rechteck am grössten!
Die vier Punkte, die das maximale Rechteck ergeben, lauten also:
[mm] $P_1=(1|f_1(1))=(1|1)$
[/mm]
[mm] $P_2=(1|f_2(1))=(1|5)$
[/mm]
[mm] $P_3=(-1|f_1(-1))=(-1|1)$
[/mm]
[mm] $P_4=(-1|f_2(-1))=(-1|5)$
[/mm]
Bei Fragen weißt du ja, wo du uns findest
Alles Gute,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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