Schlussfolgerung auf Inverse < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
Berechnen Sie A³ und folgern Sie daraus, wie A^-1 aussieht. |
A³= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 }
[/mm]
Allerdins weiß ich nicht, wie ich jetzt auf A^-1 schlussfolgern kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:14 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi studenticus!
Also, ich hab zwar keine konkrete Lösung, aber mir ist aufgefallen, dass
[mm] $A^3-A^2-A=A^{-1}$
[/mm]
Das gilt zwar in diesem speziellen Fall, aber nicht allgemein. Ich hab leider nicht rausbekommen, warum....
Vielleicht hilft dir das ja weiter...?
Lieben Gruß,
Fullla
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Sa 14.07.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sei die Matrix
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> A= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Berechnen Sie A³ und folgern Sie daraus, wie A^-1
> aussieht.
> A³= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 }[/mm]
Wenn du dir [mm] $A^3$, $A^2$ [/mm] und $A$ anschaust, siehst du, dass [mm] $A^3 [/mm] - 2 [mm] A^2 [/mm] + A = [mm] E_3$ [/mm] ist, also die Einheitsmatrix. Nun ist [mm] $A^3 [/mm] - 2 [mm] A^2 [/mm] + A = A [mm] \cdot (A^2 [/mm] - 2 A + [mm] E_3)$. [/mm] Jetzt ne Idee? 
(Hattet ihr eigentlich schon das charakteristische Polynom und den Satz von Cayley-Hamilton?)
LG Felix
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> > Gegeben sei die Matrix
> >
> > A= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
> >
> > Berechnen Sie A³ und folgern Sie daraus, wie A^-1
> > aussieht.
> > A³= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 }[/mm]
>
> Wenn du dir [mm]A^3[/mm], [mm]A^2[/mm] und [mm]A[/mm] anschaust, siehst du, dass [mm]A^3 - 2 A^2 + A = E_3[/mm]
> ist, also die Einheitsmatrix. Nun ist [mm]A^3 - 2 A^2 + A = A \cdot (A^2 - 2 A + E_3)[/mm].
eventuell mit [mm] A^{-1}von [/mm] links multiplizieren?:p
> Jetzt ne Idee?
>
> (Hattet ihr eigentlich schon das charakteristische Polynom
> und den Satz von Cayley-Hamilton?)
-> ne sagt mir gar nix
>
> LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:09 So 15.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> eventuell mit [mm]A^{-1}von[/mm] links multiplizieren?:p
Dann bist du bei [mm] A^{2}-2A+E_{3}=A^{2}-2A+E_{3}.
[/mm]
Du solltest die zwei Identitäten, die Felix angegeben hat, kombinieren:
[mm] E_{3}=A^{3}-2A^{2}+A=A(A^{2}-2A+E_{3}).
[/mm]
Daraus folgt insbesondere:
[mm] E_{3}=A(A^{2}-2A+E_{3}),
[/mm]
woraus man direkt Schlüsse über die Form der Inversen ziehen kann.
Gruß,
dormant
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