Schlussfolgerungeen aus Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Mangan |
| Aufgabe | Sei 0<=an< 1
Überlege ob aus der Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}(an) [/mm] die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}(an/(1-an)) [/mm] folgt. |
Hallo,
Mein Ansatz ist: nein. da an Minorante ist. Ist nur die Frage nach einem Bsp. Auch da hinkt es ein wenig. Alle meinigen schlagen fehl.
Nun meine Frage, kann es eventuell sein, dass obrige Behauptung war ist? So möchte ich wenigsetns einen Ansatz wissen.
Oder kennt jmd ein Gegenbeispiel?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Sa 29.11.2008 | | Autor: | leduart |
HALLO
Alle [mm] a_n<1 d.h.1-a_n>r>0 [/mm] jetzt findest du ne Majorante!
weisst du wie ?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Mangan |
etwas so:
1-an>an>0
daraus folgt:
1>an/(1-an)>0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:55 So 30.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst sicher nicht annehmen dass [mm] 1-a_n>a_n
[/mm]
Wie kommst du darauf? sicher nicht fuer alle n
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:16 So 30.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> HALLO
> Alle [mm] $a_n<1$ d.h.$1-a_n>r>0$ [/mm] jetzt findest du ne
> Majorante!
öhm, Standard-Gegenbeispiel:
[mm] $a_n:=1-\frac{1}{n} [/mm] < 1$, aber es existiert kein $r > 0$ mit [mm] $1-a_n [/mm] > r [mm] \;\;\;( [/mm] > 0)$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] (es gilt doch [mm] $1-a_n=1/n \searrow [/mm] 0$).
Oder habe ich da was falsch gelesen? Also ich interpretiere Deine Aussage jedenfalls so:
Aus [mm] $a_n [/mm] < 1$ ($n [mm] \in \IN$) [/mm] folgt [mm] $1-a_n [/mm] > r$ für alle (oder alle bis auf endlich viele) [mm] $\,n\,$ [/mm] mit einem $r [mm] \,>\, [/mm] 0$; vll. ist das aber auch eine Fehlinterpretation meinerseits?
P.S.:
Nur der Ergänzung wegen:
Es existiert hier allerdings auch wirklich so ein $0 < r$ mit [mm] $1-a_n [/mm] < r$ für alle (oder alle bis auf endlich viele) [mm] $\,n\,$'s. [/mm] Das folgt allerdings nicht alleine aus [mm] $a_n [/mm] < 1$, sondern daraus, dass $0 [mm] \le a_n [/mm] < 1$ und das hier [mm] $a_n \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gelten muss, wenn [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert. Also Leduart, Du hast schon Recht, nur irgendwie ist Dein Argument unschön formuliert (bzw. missverständlich; und das ist auch nur meine Ansicht  ).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 So 30.11.2008 | | Autor: | Mangan |
ok ich schein wohl selbst verunsicherung hineingebracht zu haben.
aber kann jmd auf die fragestellung reagieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 So 30.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei 0<=an< 1
>
> Überlege ob aus der Konvergenz der Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\red{n}}(a\red{n})[/mm]
[mm]\summe_{j=1}^{\blue{\infty}}a_{\blue{j}}[/mm]
> die Konvergenz der Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\red{n}}(a\red{n}/(1-a\red{n}))[/mm]
[mm]\summe_{j=1}^{\blue{\infty}}\frac{a_{\blue{j}}}{1-a_{\blue{j}}}[/mm]
> folgt.
> Hallo,
> Mein Ansatz ist: nein. da an Minorante ist. Ist nur die
> Frage nach einem Bsp. Auch da hinkt es ein wenig. Alle
> meinigen schlagen fehl.
>
> Nun meine Frage, kann es eventuell sein, dass obrige
> Behauptung war ist? So möchte ich wenigsetns einen Ansatz
> wissen.
> Oder kennt jmd ein Gegenbeispiel?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Leduart hatte doch schon den richtigen Tipp gegeben, nur die Begründung fand' ich unpassend ausgedrückt.
Weil [mm] $\sum_{j=1}^\infty a_j$ [/mm] konvergiert folgt [mm] $a_n \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$). [/mm] Zu [mm] $\epsilon=1/2$ [/mm] existiert also ein $N$ mit [mm] $|a_n| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n > N$, wegen $0 [mm] \le a_n$ [/mm] gilt hier [mm] $|a_n|=a_n [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] und daher [mm] $a_n [/mm] < 1/2$ für alle $n > N$.
Also [mm] $1-a_n [/mm] > 1/2$ für alle $n > [mm] N\,$.
[/mm]
Setze [mm] $r:=\min\{1-a_j; \;j=1,...,N\} \cup\{1/2\}$. [/mm] (Dann ist $r > [mm] 0\,.$ [/mm] Warum?)
Dann gilt [mm] $1-a_n \ge [/mm] r$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und damit für jedes $K [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $$\sum_{j=1}^K \frac{a_j}{1-a_j} \le \frac{1}{r}\sum_{j=1}^K a_j$$
[/mm]
Also:
Wenn [mm] $\sum_{j=1}^\infty a_j$ [/mm] konvergiert, dann...?
Gruß,
Marcel
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