Schneiden sich d. ebenen? < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 So 28.02.2010 | | Autor: | m4rio |
| Aufgabe | Gegeben, sind 2 Ebenen in PArameterdarstellung...
x= [mm] \vektor{1\\3\\2 } [/mm] + [mm] r\vektor{1\\-2\\0} [/mm] +s [mm] \vektor{3\\1\\4}
[/mm]
&
x= [mm] \vektor{-1\\5\\2} [/mm] + k [mm] \vektor{1\\1\\2} [/mm] + [mm] m\vektor{-2\\1\\3}
[/mm]
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Es soll geprüft werden, ob sie sich schneiden...
also beide gleichsetzen & nach r & s oder m & k auflösen und anschließend in die Urspungsfunktion einsetzen.
hier bekomme ich eine neue geradengleichung...
meine Frage, sie müssen ja nicht zwangsläufig eine Schittgerade besitzen, was wäre rausgekommen, wenn sie identisch oder parallel zueinander wären?
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 So 28.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Gegeben, sind 2 Ebenen in PArameterdarstellung...
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> x= [mm]\vektor{1\\3\\2 }[/mm] + [mm]r\vektor{1\\-2\\0}[/mm] +s
> [mm]\vektor{3\\1\\4}[/mm]
>
>
> &
>
>
> x= [mm]\vektor{-1\\5\\2}[/mm] + k [mm]\vektor{1\\1\\2}[/mm] +
> [mm]m\vektor{-2\\1\\3}[/mm]
>
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> Es soll geprüft werden, ob sie sich schneiden...
Hallo,
du würde ich als erstes mit dem Kreuzprodukt die beiden Normalenvektoren aufstellen...
Gruß Abakus
>
>
> also beide gleichsetzen & nach r & s oder m & k auflösen
> und anschließend in die Urspungsfunktion einsetzen.
>
> hier bekomme ich eine neue geradengleichung...
>
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> meine Frage, sie müssen ja nicht zwangsläufig eine
> Schittgerade besitzen, was wäre rausgekommen, wenn sie
> identisch oder parallel zueinander wären?
>
>
> MfG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 28.02.2010 | | Autor: | m4rio |
offiziell sollen wir das Kreuzprodukt nicht benutzen, da wir noch ziwmlich am Anfang sind...
bilde ich es jeweils aus dem Stützpunkt & dem richtungsvektor?
und was würde es mir bringen?
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> offiziell sollen wir das Kreuzprodukt nicht benutzen, da
> wir noch ziwmlich am Anfang sind...
>
> bilde ich es jeweils aus dem Stützpunkt & dem
> richtungsvektor?
Hallo erstmal,
nein das Kreuzprodukt bildest du jeweils aus den beiden Richtungsvektoren.
> und was würde es mir bringen?
Die beiden Normalenvektoren vergleichst du miteinander. Sind sie linear abhängig? In dem Fall wären die Ebenen parallel oder identisch. Haben sie einen Schnittpunkt schneiden sich auch die Ebenen...ich würde allerdings deine Methode mit dem gleichsetzen bevorzugen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 So 28.02.2010 | | Autor: | m4rio |
ok, bleiben wir beim gleichsetzen... wie erkenne ich mit dieser Methode, ob es eine schnittgerade, parallelität oder identisch sind?
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> ok, bleiben wir beim gleichsetzen... wie erkenne ich mit
> dieser Methode, ob es eine schnittgerade, parallelität
> oder identisch sind?
Wenn die beiden Ebenen parallel sind kriegst du irgendeine falsche Aussage als Ergebnis z.B. 2 = 6 --> also es gibt keine Lösung.
Sind die Ebenen identisch kriegst du eine wahre Aussage 0 = 0.
Schneiden sich die Ebenen, dann kriegst du eine eindeutige Lösung raus.
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Du setzt - wie schon geschehen - beide Parametergleichungen gleich und löst das Gleichungssystem.
Formal bekommst du 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Um 4 Unbekannte eindeutig zu bestimmen, brauchst du (mindestens) 4 Gleichungen, hast aber nur 3. Daraus folgt formal: Mindestens 1 Unbekannte lässt sich nicht eindeutig bestimmen, bleibt also variabel. Geometrisch ist dies klar: Ließen sich alle 4 Variablen als Zahl ermitteln, so wäre die Lösung ein gemeinsamer Punkt; 2 Ebenen können aber nicht nur genau einen Punkt gemeinsam haben.
Lassen sich nun in der Lösung alle anderen Variablen durch eine frei übrigbleibende darstellen (wie hier: k=-4-16,5m | r = 4m | s=-2-7,5m | m beliebig), so setzt man für jede Variable nun den entsprechenden Ausdruck in die Ebenengleichungen ein und erhält jeweils dieselbe Geradengleichung.
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Sind die Ebenen identisch, so stellt man im Verlauf der Lösung des Gleichungssystems fest, dass zwei Gleichungen sich entsprechen, dass, wenn man die eine mit der anderen kombiniert, eine Gleichung aus lauter 0-en entsteht. Beispiel:
r+s-k+2m=4 und 2r+2s-2k+4m=8. Zieht man vom Doppelten der ersten die zweite ab, so erhält man eine "Nullzeile".
Dies bedeutet formal, dass man eigentlich nur 2 Gleichungen für 4 Variable hat, dass man somit nicht alle durch eine, sondern nur durch 2 restliche freie Variablen ausdrücken kann. Beispiel: k=4 | m=r-s | r und s beliebig.
Beim Einsetzen in die Ebenengleichung erhält man wieder jeweils eine Gleichung mit 2 freien Variablen, also eine Ebenengleichung und damit die Ausgangsebene.
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Sind die Ebenen echt parallel zueinander, so stellt man im Verlauf der Lösung des Gleichungssystems fest, dass zwei Gleichungen sich fast entsprechen, dass, wenn man die eine mit der anderen kombiniert, eine Gleichung aus lauter 0-en entsteht, aber nicht bei den absoluten Zahlen.
Beispiel:
r+s-k+2m=4 und 2r+2s-2k+4m=9. Zieht man vom Doppelten der ersten die zweite ab, so erhält man eine "unvollständige Nullzeile", nämlich 0r+0s+0k+0m=-1 und damit einen Widerspruch. Es gibt somit keine Lösung, die das Gleichungssystem erfüllt.
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