Schnitt offener Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Di 31.05.2005 | | Autor: | Nitek |
Ich kämpfe momentan mit folgender Aufgabenstellung:
"Finden sie ein Beispiel dafür, daß ein beliebiger Schnitt offener Mengen nicht zwangsläufig wieder eine offene Menge ergibt"
Mir ist dabei inzwischen klar, daß ich unendlich viele Schnitte brauche und es wohl darauf hinaus läuft dadurch im [mm] \IR^{n} [/mm] eine Schnittmenge mit Dimension n-1 zu erzeugen, aber wie genau?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 Di 31.05.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nitek!
> Ich kämpfe momentan mit folgender Aufgabenstellung:
> "Finden sie ein Beispiel dafür, daß ein beliebiger Schnitt
> offener Mengen nicht zwangsläufig wieder eine offene Menge
> ergibt"
>
> Mir ist dabei inzwischen klar, daß ich unendlich viele
> Schnitte brauche und es wohl darauf hinaus läuft dadurch im
> [mm]\IR^{n}[/mm] eine Schnittmenge mit Dimension n-1 zu erzeugen,
> aber wie genau?
Es stimmt, dass du unendlich viele Mengen miteinander schneiden musst. Ich schreibe dir einfach mal ein Beispiel hin, und du darfst dann anhand des Beispiels argumentieren:
Seien [mm] $A_n:=\left]-\,\frac{1}{n},\;\frac{1}{n}\right[=\left\{x \in \IR:\; -\,\frac{1}{n} < x < \frac{1}{n}\right\}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN=\left\{1,\,2,\,3,\,\ldots\right\}$) [/mm] und betrachte:
[mm] $\bigcap_{n \in \IN} A_n$
[/mm]
(Ich behaupte:
1.) Alle [mm] $A_n$ [/mm] sind offen (Beweis?)
2.) [mm] $\bigcap_{n \in \IN} A_n=\{0\}$ [/mm] (Beweis?) und
3.) Die Menge [mm] $\{0\}$ [/mm] ist nicht offen (Beweis?), aber abgeschlossen (Beweis?)!)
So, und nun bist du an der Reihe! 
PS: Ergänzend sei angemerkt: Wir betrachten hierbei (natürlich) den metrischen Raum [mm] $(\IR,\,d)$, [/mm] wobei $d$ die "übliche Betragsmetrik" auf [mm] $\IR$ [/mm] sei. Auf den Begriff des topologischen Raumes werde ich hierbei nicht weiter eingehen, ich denke, (wenn es vorher unklar war!) mit dem Beispiel, dieser Bemerkung und deinem Analysis-Skript bekommst du die Aufgabe nun problemlos gelöst !
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:32 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Nitek |
Sowohl in meinem Script als auch in einigen die ich inzwischen bei Google gefunden habe, wird die leere Menge aber als offen UND abgeschlossen bezeichnet. So einfach ist die Lösung also wohl nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Sowohl in meinem Script als auch in einigen die ich
> inzwischen bei Google gefunden habe, wird die leere Menge
> aber als offen UND abgeschlossen bezeichnet. So einfach ist
> die Lösung also wohl nicht.
Du redest hier von der leeren Menge, die taucht bei mir aber gar nicht auf. Bitte lies dir das nochmal genau durch:
Es ist hier doch
[mm] $\bigcap_{n \in \IN}A_n=\{0\} \not= \emptyset$.
[/mm]
Und:
[mm] $\{0\}$ [/mm] ist eben nicht die leere Menge [mm] $\emptyset$, [/mm] da $0 [mm] \in \{0\}$. [/mm] Die Menge [mm] $\{0\}$ [/mm] ist eine einelementige Menge, und diese einelementige Menge ist abgeschlossen, aber nicht offen!
Und damit hast du ein Gegenbeispiel!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:44 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Nitek |
Sorry, bin ich wohl durcheinander gekommen.
Vielen Dank für deinen Tip!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Hensing |
ist die leere Menge nicht immer in R offen UND abgeschlossen?
WEIL:
die Leere Menge ist das Komplement von R, was bekanntlich offen UND abgeschlossen ist ...
somit ist die leere Menge immer sowohl offen, als auch abgeschlossen (in R wohlbemerkt)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Mi 01.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> somit ist die leere Menge immer sowohl offen, als auch
> abgeschlossen (in R wohlbemerkt)
Und wo ist die leere Menge nicht offen und abgeschlossen zu gleich?
Die Aussage ist auch ohne Klammern vollkomen richtig.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Marcel |
> ist die leere Menge nicht immer in R offen UND
> abgeschlossen?
>
> WEIL:
>
> die Leere Menge ist das Komplement von R, was bekanntlich
> offen UND abgeschlossen ist ...
> somit ist die leere Menge immer sowohl offen, als auch
> abgeschlossen (in R wohlbemerkt)
Ja, aber warum diskutieren wir hier noch immer über die leere Menge? Es war (s.o.):
[mm] $\bigcap_{n \in \IN}A_n=\{0\}\not=\emptyset$
[/mm]
Wenn es nur eine Frage aus reinem Interesse war, dann okay. Aber es hat gar nichts mit meinem Beispiel zu tun (s.o.), weil dort die leere Menge gar nicht auftaucht!
So, ich habe nun leider nicht mehr viel Zeit und hoffe, dass euch jetzt alles klar ist!
Viele Grüße,
Marcel
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