Schnitt von Ebenen und Geraden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 09:57 Mi 22.12.2004 | | Autor: | Carina |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine frage:...
man hat eine Ebene E und eine Gerade G im R hoch 3!man weis dass die beiden nicht zu eineander parallel sind und dass die gerade auch kein element von E ist, d.h. sie liegt nicht in E!
zu Zeigen:zeigen sie ,dass der schnitt genau nur ein punkt besitzt!!
wie geh ich denn da vor?
unser prof will dass sehr ausführlich und eben allgemein bewiesen!!!
kann mir jemand helfen??
bitte schickt mir eure antworten an inasteuer@gmx.net
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hast es schon mal mit eigenen Ideen versucht?
Die meisten Leute hier reagieren allergisch drauf, wenn man ihnen eine Aufgabe hinstellt mit dem Text "So, jetzt macht mal!".
Hier mal ein kleiner Ansatz von mit:
erstmal stellen wir die Ebene in Koordinatenform dar:
[mm]\vec{n} \cdot \vec{x}=d[/mm], wobei [mm]\vec{n}[/mm] der Normalenvektor ist, und [mm]d \in \IR[/mm].
Weiterhin ist die Gerade gegeben durch:
[mm]\vec{x}=\vec{a} + t \cdot \vec{u}[/mm], wobei [mm]\vec{a}[/mm] der Stützvektor ist, [mm]\vec{u}[/mm] der Richtungsvektor, und [mm]t \in \IR[/mm].
Wenn man eine Ebene in Koordinatenform und eine Gerade gegeben hat, und den Schnittpunkt will, dann setzt man die Koordinaten von g in die Ebenengleichung ein (also [mm]x_1=a_1 + t \cdot u_1[/mm] für das [mm]x_1[/mm] in E, u.s.w.).
Und, hier in der Aufgabe wichtig: da g weder parallel zu E sein soll, noch in der Ebene E liegen soll, steht der Normalenvektor von E nicht senkrecht zum Richtungsvektor von g, also: [mm]\vec{n} \cdot \vec{u} \not= 0[/mm].
Das sollte doch schon mal helfen, auch wenn die Aufgabe unverschämterweise weder komplett gelöst, noch an deine E-Mail-Adresse geschickt wurde.
Sollte es nochmal Fragen geben (mit eigenen Ideen / Lösungsansätzen), dann werden wir dir schon weiterhelfen.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 Do 23.12.2004 | | Autor: | Carina |
Man hat die gerade G= a+Span(v)
und die Ebene E= b+span(w1,w2)
bei nicht parallelität gilt:
span(v) ist keine teilmenge von span(w1,w2)
zu zeigen gilt es:
E geschnitten G =(z) (gemeinsamer punkt z!)
hinweis:
gesucht sind lambda, müh1,müh2
denn:
a+lambdav=b+müh1w1 + müh2w2
Meine frage wie löst man diese gleichung allgemein auf, damit man den gemeinsamen punkt z herausbekommt???
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Auf deine Art, mit den Parameterformen, geht's natürlich auch, ist aber aufwendiger. Einfacher geht's wirklich mit der Koordinatenform.
Diese kennst du aus der Schule in der Form [mm]ax_1+bx_2+cx_3=d[/mm], wobei [mm]\vektor{a \\ b \\ c}[/mm] der Normalenvektor ist.
Diese Gleichung kann man auch auf diese Art schreiben (ist an der Uni oft üblicher): [mm]\vec{n} \cdot \vec{x}=d[/mm].
Mit der Geradengleichung, wie ich sie angegeben hatte, kannst du den Schnittpunkt bestimmen, indem du die komplette Geradengleichung statt dem [mm]\vec{x}[/mm] in die Ebenengleichung einsetzt, das dann nach dem Geradenparameter t auflöst, diesen Wert für t in die Geradengleichung einsetzt, und fertig: der Vektor, der dann da steht, ist der Ortsvektor des Schnittpunktes.
Hier is nun so: da Gerade und Ebene nicht parallel oder identisch, stehen die Vektoren [mm]\vec{n}[/mm] und [mm]\vec{u}[/mm] nicht senkrecht zueinander, also gilt: [mm]\vec{n} \cdot \vec{u} \not= 0[/mm].
Jetzt setzen wir die Geradengleichung mal in die Ebenengleichung ein:
[mm]\vec{n} \cdot (\vec{a}+ t \cdot \vec{u}) = d[/mm]
Dieses Skalarprodukt kann man "ausmultiplizieren" (wegen der sog. "Bilinearität" des Skalarproduktes):
[mm]\vec{n} \cdot \vec{a} + t \cdot (\underbrace{\vec{n} \cdot \vec{u}}_{\not=0}) = d[/mm]
Und da dieses Skalarprodukt [mm]\vec{n} \cdot \vec{u} \not=0[/mm] ist, bleibt das t in der Gleichung erhalten, man kann sie (da alles andere in der Gleichung nur noch Zahlen sind) nach t auflösen, und erhält mit meinem oben beschriebenen Verfahren einen einzigen Schnittpunkt.
Fertig.
Noch irgendwas unklar? Die Gleichung kannst du übrigens auch nach t auflösen: [mm]t=\bruch{d-\vec{n}\cdot\vec{a}}{\vec{n}\cdot\vec{u}}[/mm].
Und an dieser Darstellung siehst du auch, warum für eine eindeutige Lösung das Skalarprodukt [mm]\vec{n} \cdot \vec{u} \not= 0[/mm] sein muss: weil sonst im Nenner eine 0 steht.
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