Schnitt von UVR < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Fr 27.03.2015 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | | Seien [mm] $U_1=\text{span}(u_1,u_2,u_3), U_2=\text{span}(u_4,u_5,u_6)$ [/mm] Untervektorräume von [mm] $V=\mathbb{R}^6$. [/mm] Bestimmen Sie [mm] $U_1\cap U_2$, [/mm] indem Sie eine Basis vom Schnitt angeben. |
Hi,
es reicht hier die Aufgabe allgemein zu betrachten.
Angenommen [mm] $U_1\cap U_2\neq\emptyset$. [/mm] Dann gibt es für [mm] $x\in U_1\cap U_2$ [/mm] die Darstellungen bezüglich der aufspannenden Vektoren
[mm] $x=\sum_{i=1}^3\alpha_i u_i=\sum_{i=4}^6\alpha_i u_i$
[/mm]
Da [mm] $u_i\in\mathbb{R}^6$ [/mm] bekommen wir ein Gleichungssystem mit sechs Zeilen und sechs Unbekannten [mm] $\alpha_1,\cdots,\alpha_6$ [/mm] der Form
[mm] $A\mathbf{\alpha}=0$
[/mm]
Nehmen wir an, wir erhalten eine eindeutige Lösung [mm] $\mathbf{\alpha}$.
[/mm]
In der Lösung der Aufgabe steht, dass man jetzt noch prüfen muss, ob [mm] $u_1,\cdots,u_3$ [/mm] eine Basis von [mm] $U_1$ [/mm] bzw. [mm] $u_4,\cdots,u_6$ [/mm] eine Basis von [mm] $U_2$ [/mm] bilden. Nur dann könne man sicher gehen, dass der gefundene Vektor auch im Schnitt liege.
Ich wäre sehr dankbar für eine Erklärung für das letzte Statement.
VG,
nbt
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> Seien [mm]U_1=\text{span}(u_1,u_2,u_3), U_2=\text{span}(u_4,u_5,u_6)[/mm]
> Untervektorräume von [mm]V=\mathbb{R}^6[/mm]. Bestimmen Sie [mm]U_1\cap U_2[/mm],
> indem Sie eine Basis vom Schnitt angeben.
> Hi,
> es reicht hier die Aufgabe allgemein zu betrachten.
Hallo,
ich glaube, es wäre gut, die Aufgabe speziell zu betrachten, also die genaue Aufgabenstellung zu kennen, und exakt das, was in den Lösungshinweisen geschrieben wird.
Oder die Aufgabenstellung und Deinen Lösungsversuch.
> Angenommen [mm]U_1\cap U_2\neq\emptyset[/mm].
Das müssen wir nicht annehmen, das ist doch immer so.
> Dann gibt es für
> [mm]x\in U_1\cap U_2[/mm] die Darstellungen bezüglich der
> aufspannenden Vektoren
> [mm]x=\sum_{i=1}^3\alpha_i u_i=\sum_{i=4}^6\alpha_i u_i[/mm]
> Da
> [mm]u_i\in\mathbb{R}^6[/mm] bekommen wir ein Gleichungssystem mit
> sechs Zeilen und sechs Unbekannten [mm]\alpha_1,\cdots,\alpha_6[/mm]
> der Form
> [mm]A\mathbf{\alpha}=0[/mm]
> Nehmen wir an, wir erhalten eine eindeutige Lösung
> [mm]\mathbf{\alpha}[/mm].
Hm. Was meinst Du damit?
Genau eine Lösung? Genau eine Lösung bekommen wir nur, wenn der Schnitt der Nullraum ist, welcher nur den Nullvektor enthält.
>
> In der Lösung der Aufgabe steht, dass man jetzt noch
> prüfen muss, ob [mm]u_1,\cdots,u_3[/mm] eine Basis von [mm]U_1[/mm] bzw.
> [mm]u_4,\cdots,u_6[/mm] eine Basis von [mm]U_2[/mm] bilden. Nur dann könne
> man sicher gehen, dass der gefundene Vektor auch im Schnitt
> liege.
Ich bin mir ziemlich sicher, daß Du da etwas mißverstanden hast.
Aber die Lösung der Aufgabe läßt sich in der Tat besser bewerkstelligen, wenn man aus den Erzeugendensystemen von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] gleich zu Beginn eine Basis herausfiltert.
LG Angela
>
> Ich wäre sehr dankbar für eine Erklärung für das letzte
> Statement.
>
> VG,
> nbt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Sa 28.03.2015 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | Wir betrachten die Vektoren des Vektorraums [mm] $\mathbb{R}^6$
[/mm]
[mm] $u_1=\vektor{1\\1\\1\\0\\1\\1},u_2=\vektor{2\\3\\4\\0\\2\\1},u_3=\vektor{0\\1\\2\\1\\1\\0},u_4=\vektor{2\\6\\6\\2\\2\\1},u_5=\vektor{0\\9\\4\\3\\0\\1},u_6=\vektor{1\\2\\3\\1\\2\\1}$
[/mm]
Seien [mm] $U_1=\text{span}(u_1,u_2,u_3), U_2=\text{span}(u_4,u_5,u_6)$ [/mm] Unterräume. Man bestimme [mm] $U_1\cap U_2$ [/mm] durch Angabe einer Basis. |
Danke Angela, hatte total vergessen, dass der Nullvektor immer enthalten ist.
Oben nochmal die genaue Aufgabenstellung.
Wir suchen also nach allen Vektoren [mm] $x\in U_1\cap U_2$, [/mm] das heißt, es muss eine Dastellung geben
[mm] $x=\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\alpha_3u_3$ [/mm] und [mm] $x=\alpha_4u_4+\alpha_5u_5+\alpha_6u_6$. [/mm] Dies können wir umformen zu
[mm] $\alpha_1u_1+\alph_2u_2+\alpha_3u_3+\alpha_4u_4+\alpha_5u_5+\alpha_6u_6=0$
[/mm]
Also entspricht das Finden der Vektoren [mm] $x\in U_1\cap U_2$ [/mm] genau dem Lösen der Gleichung [mm] $A\alpha=0$, [/mm] wobei in den Spalten von $A$ die Vektoren [mm] $u_1,\cdots,u_6$ [/mm] stehen. Nach elementaren Zeilenumformungen finden wir
[mm] $A=\pmat{1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1\\0&1&1&4&9&1\\0&0&1&0&-4&1\\0&0&0&2&7&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0}$
[/mm]
Setzen wir [mm] $\alpha_6=1$ [/mm] (freier Parameter), dann erhalten wir den Lösungsvektor [mm] $\alpha=(-1,0,-1,0,0,1)^t$, [/mm] der den Kern von $A$ aufspannt.
Jetzt steht eben noch in der Lösung:
Damit unser beschriebnes Verfahren auch wirklich einen Vektor in [mm] $U_1\cap U_2$ [/mm] liefert, müssten wir noch nachrechnen, dass die erzeugenden Vektoren von [mm] $U_1$ [/mm] und die erzeugenden Vektoren von [mm] $U_2$ [/mm] untereinander linear unabhängig sind.
Das verstehe ich nicht, warum muss man das machen?
Vielen Dank für die Hilfe,
nbt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Sa 28.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir betrachten die Vektoren des Vektorraums [mm]\mathbb{R}^6[/mm]
>
> [mm]u_1=\vektor{1\\1\\1\\0\\1\\1},u_2=\vektor{2\\3\\4\\0\\2\\1},u_3=\vektor{0\\1\\2\\1\\1\\0},u_4=\vektor{2\\6\\6\\2\\2\\1},u_5=\vektor{0\\9\\4\\3\\0\\1},u_6=\vektor{1\\2\\3\\1\\2\\1}[/mm]
> Seien [mm]U_1=\text{span}(u_1,u_2,u_3), U_2=\text{span}(u_4,u_5,u_6)[/mm]
> Unterräume. Man bestimme [mm]U_1\cap U_2[/mm] durch Angabe einer
> Basis.
> Danke Angela, hatte total vergessen, dass der Nullvektor
> immer enthalten ist.
> Oben nochmal die genaue Aufgabenstellung.
> Wir suchen also nach allen Vektoren [mm]x\in U_1\cap U_2[/mm], das
> heißt, es muss eine Dastellung geben
> [mm]x=\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\alpha_3u_3[/mm] und
> [mm]x=\alpha_4u_4+\alpha_5u_5+\alpha_6u_6[/mm]. Dies können wir
> umformen zu
>
> [mm]\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\alpha_3u_3+\alpha_4u_4+\alpha_5u_5+\alpha_6u_6=0[/mm]
ich habe das [mm] $\alpha_2$ [/mm] mal sichtbar gemacht. Ganz so stimmt Deine Rechnung
nicht, sondern Du müßtest etwa schreiben:
[mm] $\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\alpha_3u_3\red{\;-\;}\alpha_4u_4\red{\;-\;}\alpha_5u_5\red{\;-\;}\alpha_6u_6=0$
[/mm]
Noch besser also: $x [mm] \in U_1 \cap U_2$
[/mm]
[mm] $\iff$ $\exists$ $\alpha_k \in \IR$ [/mm] ($k=1,...,6$) mit [mm] $x=\sum_{\ell=1}^3 \alpha_\ell u_\ell$ [/mm] und [mm] $x=\sum_{p=4}^6 \alpha_p u_p$
[/mm]
Jetzt haben wir leider nur ein "daraus folgt", es wäre also gut, wenn wir
später noch einen Grund finden, warum diese Folgerung auch umkehrbar
ist, aber: Daraus folgt (in notwendiger Weise für die obigen [mm] $\alpha_k$)
[/mm]
[mm] $\sum_{\ell=1}^3 \alpha_\ell u_\ell=\sum_{p=4}^6 \alpha_p u_p$.
[/mm]
Setzt Du nun aber [mm] $\beta_k:=\alpha_k$ [/mm] für $k=1,2,3$ und [mm] $\beta_k:=\red{\;-\;}\alpha_k$ [/mm] für $k=4,5,6,$
so hast Du
[mm]\beta_1u_1+\beta_2u_2+\beta_3u_3+\beta_4u_4+\beta_5u_5+\beta_6u_6=0[/mm]
> Also entspricht das Finden der Vektoren [mm]x\in U_1\cap U_2[/mm]
> genau dem Lösen der Gleichung [mm]A\alpha=0[/mm], wobei in den
> Spalten von [mm]A[/mm] die Vektoren [mm]u_1,\cdots,u_6[/mm] stehen. Nach
> elementaren Zeilenumformungen finden wir
> [mm]A=\pmat{1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1\\0&1&1&4&9&1\\0&0&1&0&-4&1\\0&0&0&2&7&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0}[/mm]
Ich sag's ganz ehrlich: Nachgerechnet habe ich das nicht, ich würde mir
vielleicht Deine Rechnung angucken, wenn Du sie vorstellst.
> Setzen wir [mm]\alpha_6=1[/mm] (freier Parameter), dann erhalten wir
> den Lösungsvektor [mm]\alpha=(-1,0,-1,0,0,1)^t[/mm], der den Kern
> von [mm]A[/mm] aufspannt.
Ich finde es übrigens nicht so gut, jetzt hier Vektoren mit [mm] $\alpha$ [/mm] zu bezeichnen,
wenn oben Skalare schon mit [mm] $\alpha_k$ [/mm] bezeichnet werden. Das ist aber
nur eine rein didaktische Anmerkung!
> Jetzt steht eben noch in der Lösung:
> Damit unser beschriebnes Verfahren auch wirklich einen
> Vektor in [mm]U_1\cap U_2[/mm] liefert, müssten wir noch
> nachrechnen, dass die erzeugenden Vektoren von [mm]U_1[/mm] und die
> erzeugenden Vektoren von [mm]U_2[/mm] untereinander linear
> unabhängig sind.
Das verstehe ich auch nicht so ganz. Was ich verstehen würde, wäre, dass
man etwa den Dimensionssatz für lineare Abbildungen nochmal heranzieht,
um zu untermauern, dass
[mm] $\left\{\gamma*\vektor{-1\\0\\-1\\0\\0\\1}:\;\; \gamma \in \IR\right\}$
[/mm]
auch schon wirklich der gesuchte Kern ist; und nicht "nur" eine Teilmenge
davon. (Nebenbei: Wegen dem obigen "Daraus folgt" sollte man sich kurz
davon überzeugen, dass wir hier auch wirklich eine Teilmenge des Kerns
gefunden haben; oder begründe halt, dass das "Daraus folgt" umkehrbar
ist; das ist übrigens nicht schwer, ich würde es aber *separat* hinschreiben,
weil es ansonsten eventuell verwirrend wird!)
Gruß,
Marcel
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> Wir betrachten die Vektoren des Vektorraums [mm]\mathbb{R}^6[/mm]
>
> [mm]u_1=\vektor{1\\1\\1\\0\\1\\1},u_2=\vektor{2\\3\\4\\0\\2\\1},u_3=\vektor{0\\1\\2\\1\\1\\0},u_4=\vektor{2\\6\\6\\2\\2\\1},u_5=\vektor{0\\9\\4\\3\\0\\1},u_6=\vektor{1\\2\\3\\1\\2\\1}[/mm]
> Seien [mm]U_1=\text{span}(u_1,u_2,u_3), U_2=\text{span}(u_4,u_5,u_6)[/mm]
> Unterräume. Man bestimme [mm]U_1\cap U_2[/mm] durch Angabe einer
> Basis.
> Wir suchen also nach allen Vektoren [mm]x\in U_1\cap U_2[/mm], das
> heißt, es muss eine Dastellung geben
> [mm]x=\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\alpha_3u_3[/mm] und
> [mm]x=\alpha_4u_4+\alpha_5u_5+\alpha_6u_6[/mm]. Dies können wir
> umformen zu
>
> [mm]\alpha_1u_1+\alph_2u_2+\alpha_3u_3+\alpha_4u_4+\alpha_5u_5+\alpha_6u_6=0[/mm]
Hallo,
eigentlich müßte es hier heißen [mm] \alpha_1u_1+\alph_2u_2+\alpha_3u_3-\alpha_4u_4-\alpha_5u_5-\alpha_6u_6=0.
[/mm]
> Also entspricht das Finden der Vektoren [mm]x\in U_1\cap U_2[/mm]
> genau dem Lösen der Gleichung [mm]A\alpha=0[/mm], wobei in den
> Spalten von [mm]A[/mm] die Vektoren [mm]u_1,\cdots,u_6[/mm] stehen. Nach
> elementaren Zeilenumformungen finden wir
> [mm]A=\pmat{1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1\\0&1&1&4&9&1\\0&0&1&0&-4&1\\0&0&0&2&7&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0}[/mm]
>
> Setzen wir [mm]\alpha_6=1[/mm] (freier Parameter), dann erhalten wir
> den Lösungsvektor [mm]\alpha=(-1,0,-1,0,0,1)^t[/mm], der den Kern
> von [mm]A[/mm] aufspannt.
An dieser Stelle überlegen wir mal, was das für die Aufgabenstellung bedeutet:
Also sind alle [mm] \alpha [/mm] mit [mm] \alpha=t*\vektor{-1\\0\\-1\\0\\0\\1}, \qquad t\in \IR [/mm]
Lösungen Deines LGS.
Das heißt, wenn Vektoren x im Schnitt sind, sind sie von der Bauart [mm] x=-tu_1-tu_3=-t(u_1+u_3) [/mm] bzw. [mm] x=t*(-u_6).
[/mm]
Man bekommt auf diese Weise Vektoren des Schnittes, auch wenn die aufspannenden Vektoren von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] keine Basen der Unterräume bilden.
Ich denke, es ist etwas anderes gemeint:
da [mm] (u_1, u_2, u_3) [/mm] bzw. [mm] (u_4, u_5,u_6) [/mm] Basen von [mm] U_1 [/mm] bzw. [mm] U_2 [/mm] sind, kann man aus dem Obigen sofort ablesen:
der Schnitt hat die Dimension 1, und es ist der Vektor [mm] u_1+u_3 [/mm] eine Basis des Schnittes.
Wenn die aufspannenden Vektoren abhängig sind, funktioniert das nicht unbedingt:
betrachten wir Unterräume [mm] U_1:=span(u_1:=\vektor{1\\0\\0}, u_2:=\vektor{2\\0\\0}), U_2:=(u_3:=\vektor{0\\1\\0}) [/mm] des [mm] \IR^3.
[/mm]
Gehen wir vor wie oben, so bekommen wir, daß alle Vektoren x des Schnittes von der Bauart
[mm] x=2tu_1-tu_2=t*(2u_1-u_2) [/mm]
sind.
Das stimmt auch.
Was aber hier nicht stimmt, ist, daß [mm] 2u_1-u_2 [/mm] eine Basis des Schnittes ist.
LG Angela
> Jetzt steht eben noch in der Lösung:
> Damit unser beschriebnes Verfahren auch wirklich einen
> Vektor in [mm]U_1\cap U_2[/mm] liefert, müssten wir noch
> nachrechnen, dass die erzeugenden Vektoren von [mm]U_1[/mm] und die
> erzeugenden Vektoren von [mm]U_2[/mm] untereinander linear
> unabhängig sind.
>
> Das verstehe ich nicht, warum muss man das machen?
> Vielen Dank für die Hilfe,
> nbt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Sa 28.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> > Wir betrachten die Vektoren des Vektorraums [mm]\mathbb{R}^6[/mm]
> >
> >
> [mm]u_1=\vektor{1\\1\\1\\0\\1\\1},u_2=\vektor{2\\3\\4\\0\\2\\1},u_3=\vektor{0\\1\\2\\1\\1\\0},u_4=\vektor{2\\6\\6\\2\\2\\1},u_5=\vektor{0\\9\\4\\3\\0\\1},u_6=\vektor{1\\2\\3\\1\\2\\1}[/mm]
> > Seien [mm]U_1=\text{span}(u_1,u_2,u_3), U_2=\text{span}(u_4,u_5,u_6)[/mm]
> > Unterräume. Man bestimme [mm]U_1\cap U_2[/mm] durch Angabe einer
> > Basis.
>
> > Wir suchen also nach allen Vektoren [mm]x\in U_1\cap U_2[/mm], das
> > heißt, es muss eine Dastellung geben
> > [mm]x=\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\alpha_3u_3[/mm] und
> > [mm]x=\alpha_4u_4+\alpha_5u_5+\alpha_6u_6[/mm]. Dies können wir
> > umformen zu
> >
> >
> [mm]\alpha_1u_1+\alph_2u_2+\alpha_3u_3+\alpha_4u_4+\alpha_5u_5+\alpha_6u_6=0[/mm]
>
> Hallo,
>
> eigentlich müßte es hier heißen
> [mm]\alpha_1u_1+\red{\alph_2u_2}+\alpha_3u_3-\alpha_4u_4-\alpha_5u_5-\alpha_6u_6=0.[/mm]
das hatte ich bereits angemerkt. Allerdings sollte
[mm] [nomm]$\alph_2$[/nomm] [/mm] --> [mm] $\alph_2$
[/mm]
sichtbar gemacht werden: [mm] $\alpha_2$!
[/mm]
>
> > Also entspricht das Finden der Vektoren [mm]x\in U_1\cap U_2[/mm]
> > genau dem Lösen der Gleichung [mm]A\alpha=0[/mm], wobei in den
> > Spalten von [mm]A[/mm] die Vektoren [mm]u_1,\cdots,u_6[/mm] stehen. Nach
> > elementaren Zeilenumformungen finden wir
> > [mm]A=\pmat{1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1\\0&1&1&4&9&1\\0&0&1&0&-4&1\\0&0&0&2&7&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0}[/mm]
>
> >
> > Setzen wir [mm]\alpha_6=1[/mm] (freier Parameter), dann erhalten wir
> > den Lösungsvektor [mm]\alpha=(-1,0,-1,0,0,1)^t[/mm], der den Kern
> > von [mm]A[/mm] aufspannt.
>
> An dieser Stelle überlegen wir mal, was das für die
> Aufgabenstellung bedeutet:
>
> Also sind alle [mm]\alpha[/mm] mit
> [mm]\alpha=t*\vektor{-1\\0\\-1\\0\\0\\1}, \qquad t\in \IR[/mm]
> Lösungen Deines LGS.
>
> Das heißt, wenn Vektoren x im Schnitt sind, sind sie von
> der Bauart [mm]x=-tu_1-tu_3=-t(u_1+u_3)[/mm] bzw. [mm]x=t*(-u_6).[/mm]
> Man bekommt auf diese Weise Vektoren des Schnittes, auch
> wenn die aufspannenden Vektoren von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] keine Basen
> der Unterräume bilden.
>
> Ich denke, es ist etwas anderes gemeint:
> da [mm](u_1, u_2, u_3)[/mm] bzw. [mm](u_4, u_5,u_6)[/mm] Basen von [mm]U_1[/mm] bzw.
> [mm]U_2[/mm] sind, kann man aus dem Obigen sofort ablesen:
> der Schnitt hat die Dimension 1, und es ist der Vektor
> [mm]u_1+u_3[/mm] eine Basis des Schnittes.
>
> Wenn die aufspannenden Vektoren abhängig sind,
> funktioniert das nicht unbedingt:
> betrachten wir Unterräume [mm]U_1:=span(u_1:=\vektor{1\\0\\0}, u_2:=\vektor{2\\0\\0}), U_2:=(u_3:=\vektor{0\\1\\0})[/mm]
Bei [mm] $U_2$ [/mm] fehlt sicher das Wort "span"!
>
> des [mm]\IR^3.[/mm]
> Gehen wir vor wie oben, so bekommen wir, daß alle
> Vektoren x des Schnittes von der Bauart
> [mm]x=2tu_1-tu_2=t*(2u_1-u_2)[/mm]
> sind.
> Das stimmt auch.
> Was aber hier nicht stimmt, ist, daß [mm]2u_1-u_2[/mm] eine Basis
> des Schnittes ist.
Das ist allerdings ein sehr akademisches Beispiel, wo der Unterraum hier
doch nur der Nullraum ist. Hast Du vielleicht (rein aus Interesse) ein weniger
*künstliches* vorliegen?
Wie gesagt: Mit den richtigen Argumenten werden solche Argumentationen
am Ende eh überflüssig - aber der Fragende hat nun mal diese Musterlösung
so vorliegen, daher ist es gut, dass Du erahnen konntest, was da wohl
gemeint ist (mir war das nicht klar, deswegen habe ich die Frage auch
wieder nur auf halb beantwortet gestellt gehabt).
Gruß,
Marcel
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