Schnitt von zwei Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Fr 16.09.2005 | | Autor: | Mato |
Hallo!
Meine Aufgabe lautet:
Gegeben sind E1:
[mm] \vec{x}= \vektor{1 \\ 2\\a}+r* \vektor{1 \\-1\\1}+s *\vektor{b \\ c\\2}
[/mm]
und E2:
[mm] \vec{x}= \vektor{2 \\ 1\\1}+t* \vektor{4 \\1\\2}+q *\vektor{d \\ 1\\-1}
[/mm]
Wie müssen die reellen Zahlen a, b, c, und d gewählt werden, damit sich die beiden Ebenen E1 und E2 schneiden?
Mein Ansatz:
Damit zwei Ebenen sich schneiden, müssen jeweils zwei Spannvektoren aus einer Ebene und ein Spannvektor aus der anderen Ebene linear unabhängig sein.
D.h. man hat ein LGS mit drei Gleichungen und mehr als drei Unbekannten.
Die Parameter r, s, t und q müssen gleich null.
Obwohl ich mit diesen Bedingungen rechne, und ein LGS aufstelle, komme ich dennoch auf kein Ergebnis. Höchstens dass die Parameter gleich null sind. Jedoch bringt mich das nicht weiter, denn ich muss auf a,b,c und d kommen.
Ich bedanke mich im voraus!
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Hi, Mato,
versuch's doch mal mit Determinanten!
Damit zwei Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade besitzten, muss mindestens eine der Determinanten, die die Richtungsvektoren der Ebene E1 und jeweils einen der Ebene E2 enthalten, [mm] \not= [/mm] 0 sein.
Es wird vermutlich so sein, dass es nur ganz wenige Zahlen a, b, c und d gibt, für die die Ebenen sich NICHT schneiden: in den meisten Fällen wird es eine Schnittgerade geben. Du musst also eigentlich "nur" die Zahlen(kombinationen) rausfinden, für die die Ebenen parallel sind!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Sa 17.09.2005 | | Autor: | Mato |
Danke für deine Idee, aber ich komme trotzdem nicht weiter, da unser Mathelehrer das Thema Determinanten mit uns nicht gemacht hat. Wir werden es auch nicht mehr machen. Ich könnte mir schnell das Thema beibringen und dann es nochmal versuchen, aber es gibt bestimmt einen anderen Weg, sonst würde unser Lehrer uns keine Aufgabe aufgeben, die wir nicht könnten.
Also, wie könnte der andere Weg lauten?
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Hallo, forme eine der Ebenen in Koordinatenform um. Setze die andere Ebene dann koordinatenweise ein. DAnn kannst du die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von a, b und c untersuchen !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Sa 17.09.2005 | | Autor: | Mato |
Danke, aber versuch mal selbst auf eine Koordinatengleichung ohne die Parameter r, s, t und q zu kommen, dann kannst ja mir die nennen, denn ich komme auf keine, da a,b,c und d die Sache sehr schwierig. Bei fallen die Parameter nicht weg, wenn ich versuche auf eine Koordinatengleichung zu kommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Sa 17.09.2005 | | Autor: | svenchen |
ddd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Sa 17.09.2005 | | Autor: | svenchen |
also, hattet ihr das Kreuzprodukt schon?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Sa 17.09.2005 | | Autor: | Mato |
Nein
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:00 Sa 17.09.2005 | | Autor: | svenchen |
Hallo, ich bin unter Zeitdruck, kann daher nicht ausschließen, dass fehler enthalten sind.
Für E2 erhalte ich als Koordinatengleichung:
E2: -3x + (4+2d)y +(4-d)z = 2 + d
E1 koordinatenweise in E2 eingesetzt ergibt
-3(1 + r + sb) + (4 + 2d)(2 - r + sc)+(4 - d)(a + r + 2s) = 2+d
[mm] \gdw [/mm] -3 - 3r - 3sb + 4d - 2dr + 2dcs +8 -4r + 4sc - da - dr - d2s + 4a + 4r + 8s = 2 + d
[mm] \gdw [/mm] r(-3 - 2d - d + 4 - 4) + s(- 3b + 2dc - 2d + 8 - 4c) = -3 - 3d + da + 4a
[mm] \gdw [/mm] r(1 - 3d) + s(- 3b + 2dc - 2d +8 - 4c) = -3 - 3d + da + 4a
Identität:
1 - 3d = 0 und - 3b + 2dc - 2d +8 - 4c = 0 und -3 - 3d + da + 4a = 0
Parallelität:
1 - 3d = 0 und - 3b + 2dc - 2d +8 - 4c und -3 - 3d + da + 4a [mm] \not= [/mm] 0
Schnittgerade:
1 - 3d [mm] \not= [/mm] 0 oder - 3b + 2dc - 2d +8 - 4c [mm] \not= [/mm] 0
bitte einer nachrechen und ggfs. korrigieren.
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Hallo an alle Beteiligten
Ein etwas einfacherer Lösungsweg wäre folgender:
Man berechnet die zwei Normalvektoren:
Für E1:
[mm]
\left(
\begin{array}{ccc}
n_{1} & n_{2} & n_{3}
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
1 \\ -1 \\ 1
\end{array}
\right) = 0
[/mm] und [mm]
\left(
\begin{array}{ccc}
n_{1} & n_{2} & n_{3}
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
b \\ c \\ 2
\end{array}
\right) = 0
[/mm]
Für E2:
[mm]
\left(
\begin{array}{ccc}
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
4 \\ 1 \\ 2
\end{array}
\right) = 0
[/mm] und [mm]
\left(
\begin{array}{ccc}
m_{1} & m_{2} & m_{3}
\end{array}
\right)
\cdot
\left(
\begin{array}{c}
d \\ 1 \\ -1
\end{array}
\right) = 0
[/mm]
Wir stellen die Bedingung, dass die Vektoren
[mm]\vec{n}=
\left(
\begin{array}{c}
n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}
\end{array}
\right)
[/mm] und [mm]
\vec{m}=\left(
\begin{array}{c}
m_{1} \\ m_{2} \\ m_{3}
\end{array}
\right)[/mm]
nicht parellel sind.
Es gibt noch die Möglichkeit, dass die zwei Ebenen zusammenfallen.
Schöne grüße, 
Ladis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 So 18.09.2005 | | Autor: | Mato |
Danke sehr!
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