Schnitt zweier Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.
Bestimmen sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes S. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hi an alle !
Das ist mein erster Beitrag ;) im Forum, hoffe ihr seid alle nett :p.
Der Richtungsvektor von h ist kein Vielfaches des Richtungsvektors von g.
Also sind g und h nicht parallel.
[mm] g:\vec{x} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}+r*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
und [mm] h:\vec{x}= \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Hier die Frage:
Ich möchte *verkürzt* Gleichsetzten(ohne Richtungsvektor von g)
Für r=0 ergibt sich der Punkt(9/7/1) auf g. Ich fand diesen Trick vor kurzem, hat auch funktioniert, bis jetzt.
Setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von h ein, ergibt sich die Gleichung
[mm] \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Daraus ergibt sich:
9=5+2s =>s=2
7=5+s =>s=2
1=3+s =>s=-2 <- ?
Wenn man aber ausführlich gleichgesetzt hätte, käme raus: g und h schneiden sich.
in S(1/3/1)
Warum geht in diesem Fall das *verkürzte* gleichsetzten(also r=0 um den einen Richtungsvektor rauszuschmeisen) nicht ?Es ging eine Aufgabe vorher,da waren
die Geraden linear abhängig, ist das allgemein so oder war das ein Glückstreffer und
ich muss immer ausfürhlich gleichsetzen ?
Wenn einer weiß wie man das mit dem Casio CFX-9850GB Plus macht, wäre ich auch dankbar für Anregungen.
Besten Dank und Gruß.
MC
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 So 18.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo MacChevap,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Deine Variante des "verkürzten Gleichsetzens" geht so nicht und war bei der anderen Aufgabe wohl ein Glückstreffer.
Denn bei dieser "verkürzten Variante" vergleichst Du ja plötzlich Äpfel mit Birnen: eine Gerade mit einem Punkt.
Ich nehme mal an, bei der anderen Aufgabe handelte es sich nicht nur um parallele Geraden sondern gar identische Geraden. Das würde erklären, warum es da "mal" geklappt hat.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Grüß dich Loddar !
Danke für's willkomenheißen ;)
Nun zur Replik, haben die aber genau so in der Lösung gemacht ich zitiere aus Abitur-Prüfungsaufgaben Baden-Württemberg Mathematik 2006(kann ich empfehlen nicht schlecht, Stark PF/W-Teil find ich aber fast besser):
Der Richtungsvektor von h ist das (-3)fache des Richtungsvektors von g.
Also sind g und h parallel. Für r=0 ergibt sich der Punkt P(4/-3/-1) auf g. Setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung für h ein, ( Man kann auch einen Punkt Q auf h wählen und in die Gleichung für g einsetzen.)ergibt sich die Gleichung:
[mm] \vektor{4 \\ -3 \\ 1}=\vektor{2 \\ 1 \\ -1}+s*\vektor{6 \\ -3 \\ -9} [/mm]
Aus 4=2+6s folgt s= [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Es ist aber -3 [mm] \not=1+\bruch{1}{3}*(-3)
[/mm]
Also liegt P nicht auf h. Damit sind g und h echt parallel.
Zitat ende.
In der b) Aufgabe sind die Geraden dann tatsächlich so wie du vorhergesagt hast: identisch,
deswegen habe ich auch die hier(a) ) gepostet.
Warum Birnen und Äpfel vergleichen? Mit r=0 hab ich doch einen Punkt der Geraden, hätte ja auch r=1 wählen können, dann aber höherer Rechenaufwand. Müsste doch gehen ?R kann man doch beliebig wählen(lin.abh.).
Fazit, mann muss eben doch immer 'ausführlich gleichsetzen' (?)
Oder auch nicht, aber nur dann nicht, wenn die Richtungsvektoren lin.abh. sind,
dann ginge verkürzt ?
Naja schreib mir noch mal dein Resümee.
Gruß und Dank.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Grüß dich Loddar !
> Danke für's willkomenheißen ;)
>
> Nun zur Replik, haben die aber genau so in der Lösung
> gemacht ich zitiere aus Abitur-Prüfungsaufgaben
> Baden-Württemberg Mathematik 2006(kann ich empfehlen nicht
> schlecht, Stark PF/W-Teil find ich aber fast besser):
>
> Der Richtungsvektor von h ist das (-3)fache des
> Richtungsvektors von g.
> Also sind g und h parallel. Für r=0 ergibt sich der Punkt
> P(4/-3/-1) auf g. Setzt man die Koordinaten von P in die
> Gleichung für h ein, ( Man kann auch einen Punkt Q auf h
> wählen und in die Gleichung für g einsetzen.)ergibt sich
> die Gleichung:
>
> [mm]\vektor{4 \\ -3 \\ 1}=\vektor{2 \\ 1 \\ -1}+s*\vektor{6 \\ -3 \\ -9}[/mm]
>
>
> Aus 4=2+6s folgt s= [mm]\bruch{1}{3}.[/mm]
>
> Es ist aber -3 [mm]\not=1+\bruch{1}{3}*(-3)[/mm]
> Also liegt P nicht auf h. Damit sind g und h echt
> parallel.
> Zitat ende.
in deiner Beispielaufgabe weißt du aber schon, dass die Geraden parallel sind und folglich keinen Schnittpunkt haben. Das ist doch etwas anderes. Wenn du den Schnittpunkt von 2 Geraden berechnest, dann muss dieser unabhängig von r oder s berechnet werden. Denn entweder berechnest du r und setzt ein oder berechnest s und setzt ein. Du kannst also nicht von Vornherein sagen. r ist jetzt =0. Dann könntest du ja r=0 einsetzen und hättest schon den Schnittpunkt ohne irgendetwas mit der zweiten Geraden zu tun.
>
> In der b) Aufgabe sind die Geraden dann tatsächlich so wie
> du vorhergesagt hast: identisch,
> deswegen habe ich auch die hier(a) ) gepostet.
> Warum Birnen und Äpfel vergleichen? Mit r=0 hab ich doch
> einen Punkt der Geraden, hätte ja auch r=1 wählen können,
> dann aber höherer Rechenaufwand. Müsste doch gehen ?R kann
> man doch beliebig wählen(lin.abh.).
>
> Fazit, mann muss eben doch immer 'ausführlich gleichsetzen'
> (?)
> Oder auch nicht, aber nur dann nicht, wenn die
> Richtungsvektoren lin.abh. sind,
> dann ginge verkürzt ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Naja schreib mir noch mal dein Resümee.
>
> Gruß und Dank.
>
Viele Grüße
Daniel
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 So 18.12.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo MacChevap
Hier noch eine zusätzliche Erklärung:
Dein genanntes Beispiel betrifft zwei Geraden mit kollinearen Richtungsvektoren. Damit sind die Geraden entweder "echt" parallel oder identisch, dh: beide Gleichungen stellen die selbe Gerade dar.
Wenn die Geraden wirklich parallel sind, haben sie keinen Punkt gemeinsam; sind sie aber identisch, haben sie alle Punkte gemeinsam. Deshalb genügt es, die Koordinaten eines beliebigen Punktes der einen Geraden in der Gleichung der andern Geraden einzusetzen.
Stimmt die Gleichung, dann stimmt sie für alle Punkte, dh: die Geraden sind identisch. Stimmt die Gleichung nicht, dann stimmt sie für keinen Punkt und die Geraden sind wirklich parallel.
Wenn die Richtungsvektoren nicht kollinear (parallel) sind, kommst du also nicht darum herum, das ganze Gleichungssystem aufzulösen, wobei es in diesem Fall genügt, einen der beiden Parameter zu bestimmen.
Viele Grüsse
dominik
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Mo 19.12.2005 | | Autor: | MacChevap |
Ich danke euch allen dreien,
es fängt gerade an draußen zu schneien,
die Antworten waren qualitativ gut,
ihr macht mir neuen Mut.
Drum zieh ich den Hut ;)
->(daraus folgt;) ) Schnelle Antwort(en).
-> gründliche Erklärung - jedenfalls mir reichts's alle Male ;)
gepaart mit Humor - gefällt mir macht so weiter.
Muchas gracias und cao.
|
|
|
|
