Schnitt zweier impliziter Fkt. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:03 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Centurius_de |
Hallo, ich habe drei implizite Funktionen gegeben.
[mm] K(x,y):=x^2+y^2-169=0
[/mm]
G1(x,y):=x-y-17=0
G2(x,y):=x-y-23=0
Nun sollen die Schnittpunkte von K(x,y)=0 mit G1(x,y)=0 versucht werden zu berechnen und für K(x,y)=0 mit G2(x,y)=0, dabei soll dies für das Schneiden mit G2 nicht klappen, wann und woran kann man das bereits erkennen, wenn man versucht die Schnittpunkte zu berechnen? Wie berechnet man die Schnittpunkte für diese Beispielfunktionen ? Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich erkläre dir mal, warum $K(x,y)$ und [mm] $G_2(x,y)$ [/mm] keine Schnittpunkte haben können.
(I) [mm] $K(x,y):=x^2+y^2-169=0$
[/mm]
(II) [mm] $G_2(x,y):=x-y-23=0$
[/mm]
Aus (II) folgt:
$y=x-23$, und wenn wir das in (I) einsetzen, erhalten wir:
[mm] $x²+(x-23)^2-169=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
$2x²-46x+360=0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(\star_1)$ [/mm] $x²-23x+180=0$.
Nach der  PQFormel folgt:
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x_{1,2}=\frac{23}{2}\pm\wurzel{\frac{529}{4}-\frac{720}{4}}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $x_{1,2}=\frac{23}{2}\pm\wurzel{\underbrace{-\frac{191}{4}}_{<0}}$.
[/mm]
(Es wäre besser, man würde direkt argumentieren, dass hier gilt:
Die Diskriminante hat den Wert [mm] $-\frac{191}{4}$, [/mm] was $<0$ ist, also hat [mm] $(\star_1)$ [/mm] keine reelle Lösung. Ich lasse die Rechnung aber dennoch mal so stehen, weil man bei der PQFormel ja häufig einfach mal so drauf losrechnet und dann später mal guckt, ob das, was man als Ergebnis erhält, auch vernünftig ist. Hier war es das nicht, wie die obige Rechnung zeigt!!)
Weil unter der Wurzel eine echt negative Zahl steht, gibt es also kein Paar $(x,y)$, so dass $K(x,y)=0$ und [mm] $G_2(x,y)=0$ [/mm] gleichzeitig gelten können, also können $K(x,y)$ und [mm] $G_2(x,y)$ [/mm] auch keine Schnittpunkte haben!
Versuch nun mal, die Schnittpunkte von $K(x,y)$ und [mm] $G_1(x,y)$ [/mm] zu berechnen, indem du vollkommen analog dazu vorgehst.
Tipp:
Du bekommst dann zwei (paarweise verschiedene) $x$-Werte. Um die zugehörigen $y$-Werte zu ermitteln, benutzt du am besten das Wissen:
[mm] $G_1(x,y)=0$.
[/mm]
Warum ist $K(x,y)=0$ ungeeigneter?
Viele Grüße,
Marcel
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