Schnittg.von Ebenen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 So 21.05.2006 | | Autor: | DieSuse |
hallo...
versuche mich nun gerade an der nächsten aufgabe:
und zwar sind folg.Ebenen gegeben:
E: x+y+3z=19
F: 3x+y+7z=18
nun muss ich de Gleichung der Schnittgerade und den Schnittwinkel der beiden Ebenen bestimmen...aber wie?
versteh es nicht wie's im buc erklärt ist.
hoffe ihr könnt mir helfen
suse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 So 21.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Susann,
Du hast folgende Ebenen gegeben
E: x+y+3z=19
F: 3x+y+7z=18
Schreibe diese Ebenen doch erst einmal in der Normalenform auf, also wie folgt:
E: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = 19 , und
F: [mm] \vektor{3 \\ 1 \\ 7} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = 18.
Dann ist der Schnittwinkel [mm] \gamma [/mm] mit folgender Formel zu berechnen:
[mm] cos(\gamma) [/mm] = [mm] \bruch{\vektor{1 \\ 1 \\ 3} * \vektor{3 \\ 1 \\ 7}}{|\vektor{1 \\ 1 \\ 3}| |\vektor{3 \\ 1 \\ 7}|}.
[/mm]
(Zähler: Skalarprodukt, Nenner: produkt der Längen der Vektoren.)
Wenn du eine Ebene in Parameterform hast, ist die Schnittgerade auch relativ einfach:
Setze die Parameterform der Ebene in die Koordinatenform oder Normalenform der anderen Ebene ein. (Z.B.: Parameterf. von F in E) Dann löse die entstehende Gleichung nach einem Parameter auf. Wenn du diesen Wert in deiner Parameterform ersetzt, hast du deine Schnittgerade.
Gruss
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 21.05.2006 | | Autor: | DieSuse |
wie bekomme ich denn aus einer Gleichung in Koordinatenform eine in Parameterform...andersherum weiß ich es-jedoch nicht so...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Di 23.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Dein Normalenvektor steht ja senkrecht zur Ebene, also auch zu den Richtungsvektoren der Parameterf.
Du musst nur noch zwei Vektoren "bauen", die senkrecht zu [mm] \vec{n} [/mm] stehen und nicht parallel sind.
Hierzu musst du in der Formel des Normalenform die ersten beiden Koordinaten frei wählen, die dritte ist dann durch die Rechnung gegeben.
Bsp:
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = 0 [mm] \gdw {x_{1} + x_{2} +x_{3}} [/mm] = 0 .
Wähle jetzt z.B. [mm] x_{1} [/mm] = 1, und [mm] x_{2} [/mm] = -1, so erhältst du [mm] x_{3} [/mm] = 0.
Das ist dann dein gesuchter Vektor [mm] \vec{x}.
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 So 21.05.2006 | | Autor: | DieSuse |
den Teil mit dem Schnittwinkel habe ich verstanden, doch mit der Schnittgeraden...das geht nicht in meinen Kopf hinein..
würdest du es vieleicht nochmal ausführlich für mich erklären?
den festen Punkt bekomme ich gerade noch so heraus(jedoch ganz komische zahlen), doch den Richtungsvektor der Geraden...bekomme ich nicht heraus.
suse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 So 21.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
Wenn ja, gib sie mal bitte, dann kann ich das Beispiel vorrechnen.
Ist dann vielleicht verständlicher.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 So 21.05.2006 | | Autor: | DieSuse |
A(3,2,1)
B(7,4,-1)
C(-3,6,3)
bestimmen die Ebene F
-->3x+y+7z=18
und E ist so gegeben
x+y+3z=19
mehr Werte habe ich nicht gegeben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 So 21.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Da du mir jetzt ja die Werte gegeben hast, versuche ich, es mal zu erklären.
Die Ebene F in Parameterform ist ja:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{4 \\ 2\\ -2} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-6 \\ 4 \\ 2}.
[/mm]
Also erhalte ich:
[mm] x_{1} [/mm] = 3 + 4 [mm] \lambda [/mm] - 6 [mm] \mu [/mm] ,
[mm] x_{2} [/mm] = 2 + 2 [mm] \lambda [/mm] + 4 [mm] \mu [/mm] und
[mm] x_{3} [/mm] = 1 - 2 [mm] \lambda [/mm] + 2 [mm] \mu [/mm] .
Dieses setze ich jetzt in E ein.
(3 + 4 [mm] \lambda [/mm] - 6 [mm] \mu) [/mm] + (2 + 2 [mm] \lambda [/mm] + 4 [mm] \mu) [/mm] + 3 (1 - 2 [mm] \lambda [/mm] + 2 [mm] \mu) [/mm] = 19 [mm] \gdw 0\lambda [/mm] + [mm] 4\mu [/mm] = 19 - 8 \ gdw 4 [mm] \mu [/mm] = 11 - [mm] 0\lambda [/mm] .
Hier hast du Glück, dass [mm] \lambda [/mm] komplett wegfällt. Jetzt den Term für [mm] \mu [/mm] in die Parameterform einsetzen:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{4 \\ 2\\ -2} [/mm] + [mm] \mu \vektor{-6 \\ 4 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{4 \\ 2\\ -2} [/mm] + 11 [mm] \vektor{-6 \\ 4 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{-63 \\ -42 \\ -21} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{4 \\ 2\\ -2} [/mm] .
Rechnung ohne Gewähr.
Ich hoffe das hilft, meine Idee zu verstehen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 So 21.05.2006 | | Autor: | DieSuse |
vielen dank, für deine Mühe.
schönen sonntag dir noch
suse
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