Schnittgerade bestimmen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Ebenen [mm] E_1, E_2, E_3 [/mm] im [mm] IR^3 [/mm] seien gegeben durch
[mm] E_1: 2x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] - [mm] x_3 [/mm] =2
[mm] E_2: x_1 [/mm] - [mm] x_2 [/mm] + [mm] 2x_3 [/mm] =1
[mm] E_3: -x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] =0
Man bestimme die Schnittgerade von [mm] E_1, E_2, [/mm] von [mm] E_2,E_3 [/mm] und von [mm] E_1, E_3. [/mm] Schneiden sich die drei Ebenen? |
Hallo,
erste Frage muss ich auf etwas bestimmtes achten, weil die Ebenen im [mm] IR^3 [/mm] sind?
Zweitens hänge ich gerade an der Lösung des LGS von der ersten Schnittgerade.
Also ich habe das mit Additionsverfahren gemacht und habe
[mm] x_1=1-t
[/mm]
[mm] x_2=t
[/mm]
[mm] x_3=t [/mm] erhalten.
Kann das so richtig sein?
Freue mich über jede Hilfe.
Danke schon mal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Und somit als erste Schnittgerade
[mm] g:\vec [/mm] x [mm] =\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + t* [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] erhalten.
Ist das so korrekt?
Vielen Dank.
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> Und somit als erste Schnittgerade
>
> [mm] $g:\quad\vec{x}=\pmat{1 \\ 0 \\ 0}+ t*\pmat{ -1 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] erhalten.
>
> Ist das so korrekt?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ja.
NB: Klick die obige Gleichung an - ich habe
sie bezüglich TeX etwas vereinfacht.
LG Al-Chw.
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Nochmals ganz herzlichen Dank :)
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Hallo,
könnt ihr bitte mal meine Lösungen korrigieren?
Bei der zweiten Schnittgerade bekomme ich das raus:
$ [mm] g:\quad\vec{x}=\pmat{1/3 \\ 0 \\ 1/3}+ t\cdot{}\pmat{ -1 \\ 1 \\ 0} [/mm] $
und bei der dritten:
$ [mm] g:\quad\vec{x}=\pmat{-4 \\ 0 \\ -5}+ t\cdot{}\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $
Die dritte ist glaub ich falsch, die Probe geht nämlich nicht auf.
Bei der dritten hatte ich auch schon
$ [mm] g:\quad\vec{x}=\pmat{2 \\ 0 \\ 2}+ t\cdot{}\pmat{ 1 \\ 1 \\ -5} [/mm] $
raus.
Aber auch die konnte der Probe nicht standhalten.
Freue mich über jede Hilfe. Vielen Dank.
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> Hallo,
>
> könnt ihr bitte mal meine Lösungen korrigieren?
>
> Bei der zweiten Schnittgerade bekomme ich das raus:
(was ist die zweite Schnittgerade ? Du solltest
angeben, welche Ebenen du dabei schneidest !)
> [mm]g:\quad\vec{x}=\pmat{1/3 \\ 0 \\ 1/3}+ t\cdot{}\pmat{ -1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> und bei der dritten:
>
> [mm]g:\quad\vec{x}=\pmat{-4 \\ 0 \\ -5}+ t\cdot{}\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Die dritte ist glaub ich falsch, die Probe geht nämlich
> nicht auf.
>
> Bei der dritten hatte ich auch schon
>
> [mm]g:\quad\vec{x}=\pmat{2 \\ 0 \\ 2}+ t\cdot{}\pmat{ 1 \\ 1 \\ -5}[/mm]
>
> raus.
>
> Aber auch die konnte der Probe nicht standhalten.
>
> Freue mich über jede Hilfe. Vielen Dank.
Die Richtungsvektoren, die du ermittelt hast, können
nicht stimmen. Der Punkt (2/0/2) liegt auf einer der
Schnittgeraden (von Ebene 1 mit Ebene 3).
Als Richtungsvektoren der drei Schnittgeraden habe
ich erhalten:
$\ [mm] E_1\cap{E}_2:\qquad \pmat{1\\-1\\-1}$
[/mm]
$\ [mm] E_1\cap{E}_3:\qquad \pmat{4\\-1\\5}$
[/mm]
$\ [mm] E_2\cap{E}_3:\qquad \pmat{1\\1\\0}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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Sorry, jetzt bin ich aber aus dem Konzept gekommen.
Ich habe inzwischen nun diese drei Schnittgeraden erhalten:
[mm] E_1:E_2 [/mm] $ [mm] g:\quad\vec{x}=\pmat{1 \\ 0 \\ 0}+ t\cdot{}\pmat{ -1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $
[mm] E_2:E_3 [/mm] $ [mm] g:\quad\vec{x}=\pmat{1/3 \\ 0 \\ 1/3}+ t\cdot{}\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0} [/mm] $
[mm] E_1:E_3 [/mm] $ [mm] g:\quad\vec{x}=\pmat{2 \\ 0 \\ 2}+ t\cdot{}\pmat{ -4 \\ 1 \\ -5} [/mm] $
Die Vorzeichen habe ich wohl alle falsch gesetzt. Verstehe ich jetzt aber nicht.
Nun und ob die sich alle schneiden, da weiss ich jetzt auch nicht wie ich das prüfen soll?
Vielen Dank für Deine Geduld.
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> Ich habe inzwischen nun diese drei Schnittgeraden erhalten:
>
> [mm]E_1\cap{E}_2[/mm] [mm]g_{12}:\quad\vec{x}=\pmat{1 \\ 0 \\ 0}+ t\cdot{}\pmat{ -1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]E_2\cap{E}_3[/mm] [mm]g_{23}:\quad\vec{x}=\pmat{1/3 \\ 0 \\ 1/3}+ t\cdot{}\pmat{ 1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]E_1\cap{E}_3[/mm] [mm]g_{13}:\quad\vec{x}=\pmat{2 \\ 0 \\ 2}+ t\cdot{}\pmat{ -4 \\ 1 \\ -5}[/mm]
Das sieht gut aus: alles richtig !
> Die Vorzeichen habe ich wohl alle falsch gesetzt. Verstehe
> ich jetzt aber nicht.
Es ist nichts falsch. Bedenke, dass man
1.) einen Richtungsvektor mit einem beliebigen Faktor
ungleich Null multiplizieren darf (also "kürzen" oder
"strecken"). Kommen Brüche vor, kann man auf
einen Richtungsvektor mit ganzzahligen Komponenten
kommen.
2.) als Startpunkt einer Geraden irgendeinen beliebigen
Punkt auf der Geraden nehmen kann. Wenn es möglich
ist, sucht man natürlich einen solchen mit ganzzahligen
Koordinaten kleinen Betrags.
> Nun und ob die sich alle schneiden, da weiss ich jetzt auch
> nicht wie ich das prüfen soll?
Es geht wohl darum, ob die drei Ebenen einen (oder viele)
gemeinsame Punkte haben. Um die gemeinsamen Punkte
aller 3 Ebenen zu finden, musst du das System aller 3
Ebenengleichungen auflösen. Im vorliegenden Fall gibt
es wohl genau einen Schnittpunkt.
Da du jetzt schon die Gleichungen der 3 Schnittgeraden
hast, könntest du es dir einfach machen: Suche z.B.
einmal den Schnittpunkt der Schnittgeraden [mm] g_{12} [/mm] mit
der Ebene [mm] E_3 [/mm] und mach dir anschaulich klar, was du
damit berechnet hast !
LG Al
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Es geht wohl darum, ob die drei Ebenen einen (oder viele)
gemeinsame Punkte haben. Um die gemeinsamen Punkte
aller 3 Ebenen zu finden, musst du das System aller 3
Ebenengleichungen auflösen. Im vorliegenden Fall gibt
es wohl genau einen Schnittpunkt.
Okay, die Ebenengleichungen habe ich im Gauß-Verfahren aufgelöst und folgendes erhalten:
[mm] x_1=1
[/mm]
[mm] x_2=1/3
[/mm]
[mm] x_3=1/3
[/mm]
Da du jetzt schon die Gleichungen der 3 Schnittgeraden
hast, könntest du es dir einfach machen: Suche z.B.
einmal den Schnittpunkt der Schnittgeraden mit
der Ebene und mach dir anschaulich klar, was du
damit berechnet hast !
Hier habe ich nun t=1/3 erhalten.
Aber die Sache mit dem dem anschaulichen Verständnis, tja :-(
Schneiden sich die Ebenen in dem [mm] Punkt(\bruch{1}{3},\bruch{1}{3},1) [/mm] ?
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Mein Rechner liefert etwas anderes:
[mm]S\ =\ \left(\bruch{2}{3},\bruch{1}{3},\bruch{1}{3}\right)[/mm]
Schönen Abend !
Al-Chw.
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Ganz herzlichen Dank für Deine Hilfe.
Einen wunderschönen Abend wünsche ich Dir.
Tschüß
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hello sunshine !
> Die Ebenen [mm]E_1, E_2, E_3[/mm] im [mm]IR^3[/mm] seien gegeben durch
>
> [mm]E_1: 2x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] - [mm]x_3[/mm] =2
> [mm]E_2: x_1[/mm] - [mm]x_2[/mm] + [mm]2x_3[/mm] =1
> [mm]E_3: -x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] =0
>
> Man bestimme die Schnittgerade von [mm]E_1, E_2,[/mm] von [mm]E_2,E_3[/mm]
> und von [mm]E_1, E_3.[/mm] Schneiden sich die drei Ebenen?
> Hallo,
>
> erste Frage muss ich auf etwas bestimmtes achten, weil die
> Ebenen im [mm]IR^3[/mm] sind?
Sinnvoll wäre wohl, schon vor der Auflösung des Gleichungs-
system abzuklären, ob es überhaupt eine Schnittgerade
geben wird, durch Betrachtung der Normalenvektoren der
beteiligten Ebenen.
> Zweitens hänge ich gerade an der Lösung des LGS von der
> ersten Schnittgerade.
>
> Also ich habe das mit Additionsverfahren gemacht und habe
> [mm]x_1=1-t[/mm]
> [mm]x_2=t[/mm]
> [mm]x_3=t[/mm] erhalten.
>
> Kann das so richtig sein?
Das sollte leicht zu überprüfen sein durch Einsetzen:
$\ [mm] E_1:2x_1+3x_2-x_3=2$
[/mm]
eingesetzt:
$\ 2(1-t)+3t-t=2$
ausmultipliziert:
$\ 2-2t+3t-t=2$
vereinfacht:
$\ 2+0*t=2$
Na, das stimmt schon mal. Nun mit der anderen
Gleichung analog ...
Natürlich kannst du dann die drei Gleichungen
für die [mm] x_i [/mm] zu einer vektoriellen Gleichung
für die Schnittgerade zusammenfassen.
LG Al-Chwarizmi
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Hallo Al-Chwarizmi, vielen Dank schon mal für Deine schnelle und kompetente Antwort.
VG
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