Schnittgerade von E1 und E2 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Ich habe mal eine Frage.
z.B.:
Ich habe die Aufgabe, die Schnittgerade zweier Ebenen
3x-5y-4z=11
3x-3y+z=5
zu bestimmen.
Zuerst nehme ich das Kreuzprodukt der Normalvektoren und habe somit den Richtungsvektor der Gerade:
=(-17;-15;6)
Jetzt muss ich noch den Anfangspunkt der Gerade bestimmen.
Ich habe hier 2 Gleichungen und 3 Unbekannte.
Woher weiß ich, ob ich nun die x-,y-, oder z-Koordinate =0 setzen muss, um zum Ergebnis zu gelangen?
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Hallo.
Wenn Du doch den Richtungsvektor schon hast, tuts doch jeder beliebige Punkt der Geraden. Setzt Du z.B. z=0, so erhältst Du y=-3 und x=-4/3.
Damit bist Du dann eigentlich schon fertig.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Di 18.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Ich habe noch bissel Probleme, mir das bildlich vorzustellen.
Wenn ich den Richtungsvektor des Schnittes der Ebenen habe, dann kann ich doch nicht jeden beliebigen Punkt als Stützvektor der Geraden verwenden?!
Kann ich auch die x-,y- Koordinate =0 setzen? Oder warum wurde hier z = 0 gesetzt?
Wie muss ich mir das vorstellen, wenn ich eine Koordinate des Normalvektors der Ebenen 0 setze? Warum komm ich dann auf das Ergebnis?
Kann mir das nochmal bitte jmd. anschaulich erklären?
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Hallo nochmal.
Also nochmal langsam.
Du hast den Richtungsvektor deiner Geraden bereits gegeben. Um die Gerade eindeutig anzugeben, brauchst Du nur noch einen beliebigen Punkt der Geraden zu wissen. Das ist dir soweit schon klar, oder?
Wenn Du jetzt ein Gleichungssystem ansetzt für den Schnitt der beiden Ebenen, dann sind die x,y,z die das Gleichungssystem lösen, eben die Punkte deiner Geraden. Weil die Gerade aber eben nur von einem Parameter abhängt, kannst Du um einen beliebigen Punkt deiner Geraden zu erhalten, für x,y,z im Prinzip einen beliebigen Wert einsetzen und nach den anderen beiden auflösen.
Ich hoffe, das ist jetzt einigermaßen klar geworden.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Di 18.01.2005 | | Autor: | Maiko |
Hmm...
Vom Lösungsprinzip her habe ich das schon verstanden, wollt mir das aber eigentlich auch bildlich vorstellen können.
Scheint nicht ganz einfach zu sein...
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Hallo Maiko,
Als erstes: Doch es ist ganz einfach.
Die beiden Gleichungen für die Ebenen bestimmen genau eine Raumgerade.
Wenn Du jetzt den Richtungsvektor der Geraden hast, brauchst Du ja nur noch einen beliebigen Punkt der Geraden, um die Gerade genau zu bestimmen.
Jede der unendlich vielen Lösungen, die beide Ebenen-Gleichungen erfüllen, bestimmen einen Punkt der Schnitt-Geraden. (So eine Schnitt-Gerade ist ja genau die Menge aller Punkte die zu beiden Ebenen gehören)
Daher kannst Du in die Ebenen-Gleichungen jeweils denselben beliebigen Wert für eine der Unbekannten einsetzen und die anderen beiden Unbekannten darüber bestimmen. Dadurch erhälst Du dann einen Punkt der zu beiden Ebenen gehört also zur Schnitt-Geraden und den kannst Du dann als Stützpunkt benutzen.
Ich hoffe das hilft
gruß
Astrid
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