Schnittgerade von zwei Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Grendel |
| Aufgabe | a) Zeige, dass die beiden Ebenen E1 zu x+z+1=0 und E2 zu x+y-z+3=0 zueinander orthogonal sind!
b) Ermittle eine Parametergleichung der Schnittgeraden g! |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Abschnitt a habe ich richtig gelöst. Allerdings kann ich Schnittgeraden nur mit zwei Parametergleichungen berechnen. Bevor ich die Gleichungen jetzt komplett umstelle, wollte ich wissen, ob es evtl. eine einfachere und vorallem schnellere Lösungsmethode dafür gibt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Grendel |
Mein Frage hat sich erledigt. Ich habe schon eine Antwort gefunden: https://matheraum.de/read?t=96291&v=t
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Grendel |
Ich habe etwas vorschnell beschlossen, dass das erledigt ist. Nachdem ich nun den Richtungsvektor berechnet habe [mm] \vektor{-1\\2\\1}, [/mm] komme ich einfach nicht darauf, wie ich nun einen Gemeinsamen Punkt der Ebenen als Stützvektor herausbekomme.
E1: x+z+1=0
E2: x+y-z+3=0
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> Ich habe etwas vorschnell beschlossen, dass das erledigt
> ist. Nachdem ich nun den Richtungsvektor berechnet habe
> [mm]\vektor{-1\\2\\1},[/mm] komme ich einfach nicht darauf, wie ich
> nun einen Gemeinsamen Punkt der Ebenen als Stützvektor
> herausbekomme.
Tia, ein gemeinsamer Punkt der beiden Ebenen ist ... eine Lösung des Gleichungssystems bestehend aus den beiden Ebenengleichungen:
>
> E1: x+z+1=0
> E2: x+y-z+3=0
Natürlich hat es hier eine Variable zu viel um eine eindeutige Lösung (eben genau einen gemeinsamen Punkt) zu erhalten, aber Du kannst ja einfach willkürlich z.B. $y=0$ setzen: ergibt die beiden Gleichungen $x+z+1=0$ und $x-z+3=0$ mit der Lösung $x=-2,z=1$. Somit ist [mm] $(-2|0|1)\in E_1\cap E_2$.
[/mm]
Bem: Du könntest auch einen beliebigen anderen Wert für $y$ einsetzen: da das verbleibende System, bestehend aus zwei linearen Gleichungen in $x$ und $z$, regulär ist, gibt es für alle solchen Einsetzungen eines konkreten Wertes für $y$ genau ein $x$ und $z$, das zusammen mit diesem $y$ das Gleichungssystem - die Schnittgleichung - erfüllt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Grendel |
Alles klar ... jetzt habe ich 's. Vielen Danke für die Hilfe!
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> a) Zeige, dass die beiden Ebenen E1 zu x+z+1=0 und E2 zu
> x+y-z+3=0 zueinander orthogonal sind!
> b) Ermittle eine Parametergleichung der Schnittgeraden g!
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Abschnitt a habe ich richtig gelöst. Allerdings kann ich
> Schnittgeraden nur mit zwei Parametergleichungen berechnen.
> Bevor ich die Gleichungen jetzt komplett umstelle, wollte
> ich wissen, ob es evtl. eine einfachere und vorallem
> schnellere Lösungsmethode dafür gibt.
Schneller? - Etwa so: Wenn [mm] $E_1: [/mm] x+z+1=0$ und [mm] $E_2: [/mm] x+y-z+3=0$ gegeben ist, dann kann man z.B. die Variable $x$ gleich als Parameterwert nehmen. Sei also $x := t$. Dann ist aufgrund der ersten Gleichung $z=-x-1=-t-1$ und aufgrund der zweiten Gleichung $y=-x+z-3=-2t-4$. Damit haben wir eine Parameterform der Schnittgeraden [mm] $g=E_1\cap E_2$ [/mm] gefunden:
[mm]g: \vektor{x\\y\\z} = \vektor{0\\-4\\-1}+t\vektor{1\\-2\\-1},\qquad t\in \IR[/mm]
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