Schnittgerade zweier Ebenen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Sa 03.02.2007 | | Autor: | MTBE |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Normalvektoren der Ebenen
[mm] E_{1} [/mm] : [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 3
und
[mm] E_{2} [/mm] := [mm] \vec{r} [/mm] : [mm] \vektor{1\\ -2\\3} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{2\\ 3\\-1} [/mm] + [mm] \mu\vektor{3\\ 2\\1}
[/mm]
Berechnen Sie [mm] E_{1} \cap E_{2}. [/mm] Wie groß ist Schnittwinkel [mm] \alpha [/mm] zwischen [mm] E_{1} [/mm] , [mm] E_{2}?
[/mm]
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Einen schönen Samstagabend zusammen.
Mit dem Schnittwinkel habe ich kein Problem.
Aber wie bestimme ich die Schnittgerade der Ebenen wenn ich doch keinen Punkt zur Ebene [mm] E_{1} [/mm] angegeben hab....?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MTBE!
Forme die 1. Ebenengleichung um in: [mm] $E_1 [/mm] \ : \ [mm] \vektor{2\\-1\\1}*\vec{x} [/mm] \ = \ 3$ .
Nun setze die Ebenengleichung der 2. Ebene mit [mm]\vec{x} \ = \ \vektor{1\\ -2\\3}+\lambda*\vektor{2\\ 3\\-1}+\mu*\vektor{3\\ 2\\1}[/mm] ein.
Daraus sollte dann eine Geradengleichung entstehen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Sa 03.02.2007 | | Autor: | MTBE |
Ist das richtig so?
Wenn ja, wie mache ich dann weiter?
[mm] \lambda\vektor{2 \\ 3\\1} [/mm] + [mm] \mu\vektor{3 \\ 2\\1} [/mm] = -4
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MTBE!
Dein (Zwischen-)Ergebnis kann nicht stimmen. Denn durch die insgesamt 3  Skalarprodukte verbleibt eine Gleichung ohne Vektoren:
[mm] $\vektor{2\\-1\\1}*\left[ \vektor{1\\ -2\\3} +\lambda\cdot{}\vektor{2\\ 3\\-1}+\mu\cdot{} \vektor{3\\ 2\\1} \right] [/mm] \ = \ [mm] \vektor{2\\-1\\1}*\vektor{1\\ -2\\3}+\lambda*\vektor{2\\-1\\1}*\vektor{2\\ 3\\-1}+\mu*\vektor{2\\-1\\1}* \vektor{3\\ 2\\1} [/mm] \ = \ ... \ = \ 3$
Diese musst Du dann nach [mm] $\lambda [/mm] \ = \ ...$ oder [mm] $\mu [/mm] \ = \ ...$ auflösen und in die 2. Ebenengleichung einsetzen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 Sa 03.02.2007 | | Autor: | MTBE |
so, zunächst hab ich die Skalarprodukte gebildet und bin auf
6 + [mm] 6\lambda [/mm] + [mm] 5\mu [/mm] = 3
gekommen.
Dann nach [mm] \lambda [/mm] auflösen ergibt:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{6}\mu
[/mm]
Jetzt in die 2. Ebenengleichung einsetzen:
[mm] \vektor{1 \\ -2\\3} [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{5}{6}\mu) \vektor{2 \\ 3\\ -1} [/mm] + [mm] \mu\vektor{3 \\ 2\\1}
[/mm]
Multiplikation der beiden "Klammern"
(oder ist das jetzt totaler Quatsch)
[mm] \vektor{1 \\ -2\\3} [/mm] + [mm] \vektor{-2 \\ \bruch{-20}{6}\mu} [/mm] + [mm] \mu\vektor{3 \\ 2\\1}
[/mm]
Wenn nicht, wie mach ich weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MTBE!
> so, zunächst hab ich die Skalarprodukte gebildet und bin auf
> 6 + [mm]6\lambda[/mm] + [mm]5\mu[/mm] = 3 gekommen.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier erhalte ich: [mm] $7+0*\lambda+5*\mu [/mm] \ = \ [mm] 7+5*\mu [/mm] \ = \ 3$ [mm] $\gdw$ $5*\mu [/mm] \ = \ -4$ [mm] $\gdw$ [/mm] $..._$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Sa 03.02.2007 | | Autor: | MTBE |
eingesetzt ergibt das:
[mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{2 \\ 3 \\ -1} [/mm] - [mm] \bruch{4}{5} \vektor{3 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
und ausmultipliziert
[mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{2 \\ 3 \\ -1} [/mm] - [mm] \bruch{24}{5}
[/mm]
und nun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:12 Sa 03.02.2007 | | Autor: | MTBE |
Also
[mm] \vektor{1-2.4 \\ -2-1.6 \\ 3-0.8} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{2 \\ 3\\ -1}
[/mm]
ist gleich
Schnittgerade:
[mm] \vektor{-1.4 \\ -3.6 \\ 2.2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{2 \\ 3\\ -1} [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MTBE!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Sa 03.02.2007 | | Autor: | MTBE |
Das war ne schwere Geburt...
mein Gott, da musstest Du mich aber ordentlich hintreten.
Schönen Dank für die unerschöpfliche Geduld und nen erholsamen Schlaf,
bis zur nächsten Frage...
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
