Schnittkreis bei zwei Kugeln < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 So 21.10.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo,
die Aufgabe lautet wie folgt:
BEstimmen sie den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises der Kugeln k1 und k2:
[mm] k_{1}: [/mm] [ x - [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 9}] [/mm] ² = 49
[mm] k_{2}: [/mm] [ x - [mm] \vektor{2 \\ -1\\ 5}] [/mm] ² = 16
Also ich habe hierzu die Lösung, sie lautet M(2/-1/5) r=4
Mein Versuch:
Ich habe die Kugelgleichung Nummer zwei von der ersten subtragiert, sodass ich die Ebene habe, in der sich der Schnittkreis befinden muss.
Nun weiss ich aber nicht , wie ich weiter machen muss.
Könnt ihr mir bitte helfen? War mein erster Ansatz schon richtig?
MFG
Kerim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kerim!
Ja, das sieht schon gut aus. Den Mittelpunkt des Schnittkreises erhältst Du nun als Schnittpunkt der ermittelten Ebene mit der Verbindungsgeraden der beiden Kugelmittelpunkte [mm] $\overline{M_1M_2}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 So 21.10.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo Loddar,
erstmals danke für deine erneut schnelle Antwort.
Bei mir hat es bisschen länger gedauert, weil ich mich verrechnet habe, und so alles neu berechnen musste. ZUm Glück habe ich die Lösung, weil ich mache sehr viele Flüchtigkeitsfehler....
Also ich habe jetzt tatsächlich den Mittelpunkt rausgefunden:)
Zum Rausfinden des Radius' habe ich die Entferneung M und Ebene versucht, kommt aber Null raus, was aber auch logisch , also der Gedanke/Weg, sehr unlogisch ist.
Wie kann ich denn nun den Radius rausfinden? Meine Schwäche ist es, dass ich sowas sehr schlecht räumlich mir vorstellen kann. Auch das Vorstellen des Schnittpunktes einer Ebene und der Geraden hat mir sehr viel ZEit gekostet, aber egal, macht mir trotzdem Spaß.
MFG
Kerim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kerim!
Wie groß ist denn der Abstand [mm] $d_1$ [/mm] des ersten Kugelmittelpunktes [mm] $M_1$ [/mm] zur Schnittebene?
Damit kannst Du dann den Satz des Pythagoras aufstellen mit:
[mm] $$d_1^2+r_{\text{Kreis}}^2 [/mm] \ = \ [mm] r_1^2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 So 21.10.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo,
der Abstand M(1/3/9) der ersten Kugelmitte zur Schnittebene 2x-8y-8z=-28
beträgt bei mir: 5,744562647
DAs eingesetzt in die Formel:
5,744562647² + 7 ² = [mm] \wurzel{82}
[/mm]
In der LÖsung steht jedoch r= 4. Ich habe noch einmal nachgerechnet(mehrmals), aber 4 bekomme ich leider nicht raus.
Was habe ich wohl falsch gemacht?
MFG
Kerim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 So 21.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kerim!
Du hast falsch in meine o.g. Formel $ [mm] d_1^2+r_{\text{Kreis}}^2 [/mm] \ = \ [mm] r_1^2 [/mm] $ eingesetzt.
- [mm] $d_1$ [/mm] ist der Abstand des Mittelpunktes [mm] $M_1$ [/mm] zur Schnittebene; also: [mm] $d_1 [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{33}$
[/mm]
- [mm] $r_{\text{Kreis}}$ [/mm] ist der gesuchte Radius
- [mm] $r_1$ [/mm] ist der Radius der Kugel um [mm] $M_1$ [/mm] ; also: [mm] $r_1 [/mm] \ = \ 7$ .
Damit wird dann: [mm] $\left( \ \wurzel{33} \ \right)^2+r_{\text{Kreis}}^2 [/mm] \ = \ [mm] 7^2$
[/mm]
Nun also nach [mm] $r_{\text{Kreis}} [/mm] \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
PS: Du solltest Dir auch immer eine entsprechende Skizze machen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 So 21.10.2007 | | Autor: | kerimm |
Hallo , Loddar!
DAnke, ich habe wirklich die Schrift im Index , glaube ich, einfach überflogen.
Danke nochmals, auch für den Tipp mit den Skizzen!
MFG
Kerim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Di 23.10.2007 | | Autor: | Mr.Pink |
Hallo,
ich habe eine ähnliche Aufgabe bekommen und der Lösungsweg ist mir vom Prinzip schon klar, allerdings habe ich das Problem, dass ich nicht weiß wie man 2 Kugel-Gleichungen in der obigen Form voneinander subtrahiert...war längere Zeit krank.
Kann mir einer weiterhelfen?
Danke schonmal im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Di 23.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mr.Pink!
Du musst die Kugelgleichungen [mm] $k_1$ [/mm] und [mm] $k_2$ [/mm] in der Vektordarstellung zunächst umformen. Hier mal am Beispiel [mm] $k_1$ [/mm] :
[mm] $$k_{1} [/mm] \ : \ [mm] \left[\vec{x} - \vektor{1 \\ 3 \\ 9}\right]^2 [/mm] \ = \ 49$$
[mm] $$k_{1} [/mm] \ : \ [mm] \left[\vektor{x \\ y \\ z} - \vektor{1 \\ 3 \\ 9}\right]^2 [/mm] \ = \ 49$$
[mm] $$k_{1} [/mm] \ : \ [mm] \left[\vektor{x-1 \\ y-3 \\ z-9}\right]^2 [/mm] \ = \ 49$$
[mm] $$k_{1} [/mm] \ : \ [mm] (x-1)^2+(y-3)^2+(z-9)^2 [/mm] \ = \ 49$$
[mm] $$k_{1} [/mm] \ : \ [mm] x^2-2x+1+y^2-6y+9+z^2-18z+81 [/mm] \ = \ 49$$
[mm] $$k_{1} [/mm] \ : \ [mm] x^2-2x+y^2-6y+z^2-18z [/mm] \ = \ -42$$
Gruß
Loddar
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