Schnittkurve Ellipsoid Ebene < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind:
ein Ellipsoid: [mm] x^{2}+y^{2}+0.25*z^{2}=1
[/mm]
und eine Ebene durch die Achsenabschitte [mm] x_{0}=\wurzel{2}, y_{0}=\wurzel{2}, z_{0}=\wurzel{2}
[/mm]
Es ist die Schnittkurve von Ellipsoid und Ebene zu bestimmen.
Welcher Punkt auf der Kurve hat maximalen Abstand vom Koordinatenursprung?
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Hallo Allerrseits,
Wie gehe ich hier prinzipiell vor? Kommt man evtl. mit Parameterdarstellungen weiter? Viell. Polarkoordinaten?
Die Ebene wäre ja: [mm] -2*x-2*y-2*z-2*\wurzel{2}=0
[/mm]
kann man das irgendwie in den Ellipsoid einsetzen?
Meine Idee wäre dann x,y,z in Abhängingkeit von einem Parameter t darzustellen und dann den abstand vom Ursprung als Betrag des Vektors. Von diesem Ausdruck dann die Ableitungen usw. Mir fehlt aber ein günstiger Ansatz.
jemdan meinte, man könnte einen Lagrangeansatz machen, davon habe ich im Moment leider keine Ahnung.
Vielen Dank, wenn mir jemand helfen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 So 10.09.2006 | | Autor: | EvenSteven |
> Hallo Allerrseits,
Hi
> Die Ebene wäre ja: [mm]-2*x-2*y-2*z-2*\wurzel{2}=0[/mm]
>
Wenn du da $x=0$ und $y=0$ setzst, kriegst du nicht den geforderten Achsenabschnitt für z. Die Ebenegleichung lautet folgendermassen:
[mm] $x+y+z=\wurzel{2}$
[/mm]
Ciao
EvenSteven
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 So 10.09.2006 | | Autor: | Aventuero |
habe im absolutglied ein falsches vorzeichen, wenn man es dann durch -2 teilt stimmt die ebene - aber wie weiter? jetzt wird es erst noch interessant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 10.09.2006 | | Autor: | EvenSteven |
>$ [mm] -2\cdot{}x-2\cdot{}y-2\cdot{}z-2\cdot{}\wurzel{2}=0 [/mm] $
[mm] >$z_{0}=\wurzel{2}$
[/mm]
x=0 und y=0:
[mm]
-2\cdot{}z-2\cdot{}\wurzel{2}=0
\Rightarrow
z=-\wurzel{2}\not=z_{0}=\wurzel{2}
[/mm]
Es sei denn, du definierst die Achsenabschnitte anders...
i) Beide Gleichungen nach 0 "auflösen"
ii) Gleichsetzen
iii) Nach 0 "auflösen"
iv) Jene Punkte die diese eine Gleichung erfüllen, sind Punkte der Schnittkurve.
v) In diesem Fall wohl Punkte einer geneigten Ellipse in [mm] \IR^{3}
[/mm]
Minimaler Abstand: Eine andere Lösung als Lagrange würde mich auch interessieren.
Gruss
EvenSteven
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Mo 11.09.2006 | | Autor: | Aventuero |
danke für die mühe, aber ich habe schon verstanden wie das mit der ebene ist , war nur ein vorzeichenfehler
ich brauche immernoch ne konstruktive hilfe beim lösen des eigentlichen problems - die gleichung für diese schnittkurve ist nicht das problem - woher kriege ich denn eine funktion für den abstand zum ursprung? die schnittkurve ist ja implizit
ich habe diesen langrange-ansatz noch nie benutzt (weiß nur das man extrema damit bestimmen kann) wie wendet man das in diesem fall an?
welchen ansatz macht man denn?
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Hi,
wie waers denn, wenn du die ebenen-gleichung nach x umstellst und dann quadrierst. du hast dann eine gleichung in [mm] $x^2$. [/mm] machst du dies jetzt auch noch mit der ellipsen-gleichung, kannst du das x eliminieren und hast eine eine gleichung in y und z, die du aufloesen koennen solltest.
fuer den zweiten teil brauchst du sicherlich den lagrange-ansatz.
gruss
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:05 Di 12.09.2006 | | Autor: | Aventuero |
Vielen Dank, wenn Du x eliminierst kriegst Du eine quadratische Gleichung, die läßt sich nicht einfach nach z oder y umstellen.
Ich habe folgenden anderen Weg für den Anfang:
Die Ebene in Parameterdarstellung:
[mm] \vektor{x \\ y\\z}=\vektor{\wurzel{2} \\0\\0}+r*\vektor{-\wurzel{2} \\0\\\wurzel{2}}+s*\vektor{-\wurzel{2} \\\wurzel{2}\\0}
[/mm]
Einsetzen in dass Ellipsoid liefert hoffentlich die gesuchte Schnittkurve:
[mm] 2-4r-4s+2.5r^2+4rs+4s^2=1
[/mm]
Was kann ich denn damit anfangen?
wie kriege ich denn den Abstand vom Ursprung? um ihn zu maximieren
vielleicht kann mir auch jemand schreiben, wie man diesen Langrange-Ansatz macht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Di 12.09.2006 | | Autor: | Aventuero |
Vielleicht hat noch jemand etwas muße und betrachtet die Aufgabe bitte als nicht gelöst.
Vielen Dank im Voraus
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