Schnittmenge Untervektorräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Mo 14.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Seien [mm] U_1, U_2, U_3 [/mm] dreidimensionale Unterräume eines acht-dimensionalen Vektorraums V, wobei gelte
V = [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] + [mm] U_3.
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] U_1 [/mm] /cap [mm] U_2 [/mm] /cap [mm] U_3 [/mm] = {0} .
Wie kann ich das zeigen? Mir fehlt eine Idee, ein Ansatz...
Vielen Dank für eure Hilfe!! |
Moin,
ok, ich weiss jeder Untervektorraum hat die dim = 3.
wenn ich die drei vereinigen würde, und sie alle unabhängig von einander wären, erhielte ich die dim=9.
dies ist aber nicht mgl., da die dim des übergeordneten Vektorraums dim =8 ist.
aber wie jetzt weiter???
Gruß
Wolfgang
|
|
| |
|
> Seien [mm]U_1, U_2, U_3[/mm] dreidimensionale Unterräume eines
> acht-dimensionalen Vektorraums V, wobei gelte
>
> V = [mm]U_1[/mm] + [mm]U_2[/mm] + [mm]U_3.[/mm]
>
> Zeigen Sie: [mm]U_1[/mm] /cap [mm]U_2[/mm] /cap [mm]U_3[/mm] = {0} .
>
> Wie kann ich das zeigen? Mir fehlt eine Idee, ein
> Ansatz...
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!!
> Moin,
>
> ok, ich weiss jeder Untervektorraum hat die dim = 3.
>
> wenn ich die drei vereinigen würde, und sie alle unabhängig
> von einander wären, erhielte ich die dim=9.
>
> dies ist aber nicht mgl., da die dim des übergeordneten
> Vektorraums dim =8 ist.
>
> aber wie jetzt weiter???
Hallo,
ich würde versuchen, das durch einen Widerspruch zu zeigen.
Nimm an, im Schnitt läge der Vektor [mm] a\not=0.
[/mm]
Dann könntest Du a zu einer Basis von [mm] U_1 [/mm] bzw. [mm] U_2 [/mm] bzw. [mm] U_3 [/mm] ergänzen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:14 Di 15.01.2008 | | Autor: | hase-hh |
gegenbeweis:
wenn [mm] U_1 \cap U_2 \cap U_3 \ne [/mm] {0}
dann würde es mindestens ein gemeinsames Element in geben, das [mm] \ne [/mm] 0 ist; z.b. [mm] \vec{x} [/mm] .
ich könnte die UVR mit zu einer Basis ergänzen, d.h.
[mm] B_1 ={\vec{x},\vec{a},\vec{b}}
[/mm]
[mm] B_2 ={\vec{x},\vec{c},\vec{d}}
[/mm]
[mm] B_3 ={\vec{x},\vec{e},\vec{f}}
[/mm]
dann würde eine gemeinsame Basis von [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] aus den Vektoren
[mm] \vec{a},\vec{b}, \vec{c},\vec{d}, \vec{x} [/mm] bestehen, sofern
[mm] r*\vec{a} [/mm] + [mm] s*\vec{b} [/mm] + [mm] t*\vec{c} [/mm] + u* [mm] \vec{d} [/mm] + v* [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
nur lösbar mit r=s=t=u=v=0. dies sei ebenfalls unterstellt, dann erhielte ich als maximal mögliche dim [mm] (U_1 [/mm] + [mm] U_2) [/mm] = 5
weiter würde ich nun zusätzlich noch [mm] U_3 [/mm] hinzunehmen, erhielte ich
[mm] r*\vec{a} [/mm] + [mm] s*\vec{b} [/mm] + [mm] t*\vec{c} [/mm] + u* [mm] \vec{d} [/mm] + v* [mm] \vec{x} [/mm] + [mm] w*\vec{e} +y*\vec{f} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
wenn dies eine Basis von sein soll, müsste gelten, dass die Gleichung nur lösbar ist für r=s=t=u=v=w=y=0. dies sei ebenfalls unterstellt, dann erhielte ich als maximal mögliche dim [mm] (U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] + [mm] U_3) [/mm] = 7.
da aber V = [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] + [mm] U_3 [/mm] die Dimension 8 haben soll, d.h. es soll dim (V) = 8 gelten, ist hier ein WIDERSPUCH.
daher kann [mm] U_1 \cap U_2 \cap U_3 [/mm] nur = {0} sein.
Ist das so richtig??
|
|
|
| |
|
> gegenbeweis:
>
> wenn [mm]U_1 \cap U_2 \cap U_3 \ne[/mm] {0}
>
> dann würde es mindestens ein gemeinsames Element in geben,
> das [mm]\ne[/mm] 0 ist; z.b. [mm]\vec{x}[/mm] .
>
>
> ich könnte die UVR mit zu einer Basis ergänzen, d.h.
>
> [mm]B_1 =\{\vec{x},\vec{a},\vec{b}\}[/mm]
> [mm]B_2 =\{\vec{x},\vec{c},\vec{d}\}[/mm]
>
> [mm]B_3 =\{\vec{x},\vec{e},\vec{f}\}[/mm]
Hallo,
Du scheinst es gut verstanden zu haben.
Du brauchst da gar nicht mehr mit der linearen Unabhängigkeit heraumzumachen.
Es ist dann ja [mm] B_i [/mm] ein Erzeugendensystem von [mm] U_i,
[/mm]
und die Summe der U__i ist ja der von [mm] \{\vec{x},\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e},\vec{f}\}
[/mm]
erzeugte Raum - egal ob die linear abhängig sind oder nicht.
Wir haben ein Erzeugendensystem aus 7 Elementen, also kann die Dimension des betrachteten Raumes höchstens =7 sein.
Das ist ja auch das, was Du herausgefunden hast. Du solltest in Deinen Einzelschritten nicht mit "hätte gemeinsame Basis" argumentieren, sondern lieber mit "wäre ein Erzeugendensystem". Erzeugendensystem ist der Begriff, der fehlt in Deinem Beweis - ich würde den Beweis aber nicht als falsch bezeichnen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
