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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:00 Sa 02.04.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Zeige: Ist (E,d) ein metrischer Raum, K [mm] \subset [/mm] E kompakt und F [mm] \subset [/mm] E abgeschlossen, dann ist F [mm] \cap [/mm] K kompakt. |
K ist kompakt, also beschränkt und abgeschlossen.
Weiter ist F abgeschlossen. Die Schnittmenge der beiden abgeschlossenen Mengen ist wieder abgeschlossen und weiter durch den Schnitt mit der beschränkten Menge K wiederum auch beschränkt.
[mm] \Rightarrow [/mm] F [mm] \cap [/mm] K ist beschränkt und abgeschlossen, damit auch kompakt. [mm] \Box
[/mm]
Passt das so? Bzw. kann man das alles so stehen lassen?
Vielen Dank!
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Hallo chesn,
aus Abgeschlossenheit und Beschränktheit folgt in allgemeinen metrischen Räumen keine Kompaktheit!
Dies gilt nur für, wenn $(E,d) [mm] \subset (\IR^n,|*|)$, [/mm] also eine Teilmenge des [mm] $\IR^n$ [/mm] versehen mit der euklidischen Metrik ist.
Du musst dir wohl einen anderen Ansatz suchen 
Es gibt in metrischen Räumen einige äquivalente Bedingungen zur Kompaktheit, welche kennst du davon?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mo 04.04.2011 | | Autor: | chesn |
Moment mal, wenn (mal unabhängig von der Definition) K [mm] \subset [/mm] E als kompakt gegeben ist, ist der Schnitt F [mm] \cap [/mm] K ja eine Teilmenge von K.
Also F [mm] \cap [/mm] K [mm] \subset [/mm] K. [mm] \Rightarrow [/mm] F [mm] \cap [/mm] K Kompakt. Oder übersehe ich da irgendwas?
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:16 Mo 04.04.2011 | | Autor: | chesn |
Weiter ist F [mm] \cap [/mm] K eine abgeschlossene Teilmenge von K und "übernimmt" die Beschränktheit. (??!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Mo 04.04.2011 | | Autor: | chesn |
quatsch, jetzt war ich wieder im euklidischen raum.. sorry.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mo 04.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moment mal, wenn (mal unabhängig von der Definition) K
> [mm]\subset[/mm] E als kompakt gegeben ist, ist der Schnitt F [mm]\cap[/mm] K
> ja eine Teilmenge von K.
> Also F [mm]\cap[/mm] K [mm]\subset[/mm] K. [mm]\Rightarrow[/mm] F [mm]\cap[/mm] K Kompakt.
Ja, aber wieso ?
Nimm eine Folge in F [mm] \cap [/mm] K und zeige, dass sie eine konvergente Teilfolge enthält, deren Grenzwert zu F [mm] \cap [/mm] K gehört.
FRED
> Oder übersehe ich da irgendwas?
>
> Vielen Dank!
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